Путешествие в историю математики — Свечников А. А. 1995
Как алгебра стала геометрической
Начертите квадрат со стороной в 1 см и подумайте, чему равна его площадь. Площадь такого квадрата будет равна 1 кв. см, так как 1 • 1 = 1 (см2). Начертите в этом квадрате отрезок, соединяющий вершины двух противоположных углов, — диагональ. Этот отрезок разделит квадрат на два равных треугольника. Один треугольник отличается от другого только положением.
На проведенном отрезке — на диагонали — как на стороне постройте новый квадрат так, чтобы диагональ первого квадрата стала стороной нового квадрата. В новом квадрате соедините попарно вершины противоположных углов отрезками (т. е. проведите две диагонали). Второй квадрат окажется разделенным на четыре равных треугольника, а в первом квадрате равных им будет только два треугольника; следовательно, второй квадрат в два раза больше первого квадрата, т. е. его площадь равна 2 см2. А чему будет равна сторона второго квадрата? Обозначим ее через х. Чтобы вычислить площадь квадрата, надо его сторону (х) умножить на самое себя или х • х = 2 (см2).
Попытаемся подобрать такое число, которое при умножении на равное ему даст 2. Например, 1,5 • 1,5 = 2,25. Получили число больше двух. Следовательно, это число велико. Возьмем число меньше, чем 1,5, а именно 1,4. 1,4 • 1,4 = 1,96. Оказалось, что число 1,4 мало. Увеличим его: 1,41 • 1,41 = 1,9881. Полученное число опять меньше 2. Испытаем большее число 1,42. Получим 1,42 • 1,42 = 2,0164. Следовательно, х < 1,42. Мы нашли 1,41 <х< 1,42, т. е. в поиске значения х мы приблизились к его значению, но точного выражения для него не нашли.
Если продолжить поиск числа х, то можно еще ближе подойти к истинному значению х, но точного значения числа, которое, будучи умноженным само на себя, дало бы в произведении 2, мы никогда не найдем. Евклид доказал, что таких дробных чисел нет.
Измерить диагональ квадрата, сторона которого равна 1, и выразить результат точным числом нельзя. Поэтому сторону квадрата и его диагональ назвали несоизмеримыми. Свойство несоизмеримости стороны и диагонали квадрата было открыто пифагорийцами.
Пифагор и его последователи анализировали свойства натуральных чисел. Среди них они выделяли четные и нечетные, треугольные и квадратные, дружные, избыточные и ряд других. Однако дроби они к числам не относили. Пифагорийцы считали их отношениями. Много внимания они уделяли изучению пропорций. Пифагорийцы пытались найти в природе и обществе постоянные вечные законы и свести все их к числовым соотношениям. Они полагали основой всего существующего числа и их отношения.
Пифагор открыл, что три колеблющиеся струны дают приятное для слуха гармоническое звучание, когда длины струн соотносятся как 3:4:6. Обнаружив ряд замечательных свойств чисел и числовых рядов, а также зависимость гармонии звуков от числовых соотношений, пифагорийцы приписали числам божественные свойства. Но когда было установлено существование несоизмеримых отрезков, когда математики не нашли числа, которыми можно было бы выразить отношение двух отрезков, пифагорийцы были обескуражены. Это открытие противоречило их утверждению: «Всё есть число». Они решили сохранить свое открытие о несоизмеримости отрезков в тайне.
Существует легенда о том, что один из пифагорийцев разгласил эту тайну и за это боги его страшно покарали — он погиб при кораблекрушении.
Научные открытия хранятся в тайне недолго. О несоизмеримости отрезков узнали и другие древнегреческие математики и стали искать способы преодоления создавшегося осложнения.
Греческий математик и астроном Евдокс (ок. 406 — 355 до н. э.) разработал теорию отношений и пропорций, в которой, чтобы избежать несоизмеримости, осознанно отверг числовые значения отрезков и рассматривал отношения только геометрических величин, т. е. отрезков и площадей. Этот подход позволил преодолеть затруднения, возникшие с открытием несоизмеримых отрезков.
Перейдя к изображению чисел отрезками, греческие математики стали рассматривать все арифметические операции как действия с отрезками и выполняли сложение, вычитание, умножение и деление посредством геометрических построений. Например, о произведении ab они говорили: «Прямоугольник, содержащийся между отрезками а и b», о выражении а2 = а • а: «Квадрат со стороной а» и т. д.
Так появилась алгебра, которая оперировала не числами и не буквами, а отрезками, площадями и объемами геометрических фигур. В дальнейшем преобразование назвали геометрической алгеброй. Она довольно долго способствовала прогрессу науки, так как давала возможность посредством геометрических построений с последующими доказательствами решать и исследовать разнообразные задачи из алгебры.
В «Началах» Евклида приведены доказательства алгебраических тождеств:
и др. Там же дано геометрическое решение уравнений вида ab = cx и более сложных.
Алгебра древних греков со времен Евклида превратилась в строгую математическую теорию. Хотя решения и доказательства посредством геометрических построений были очень громоздки и требовали много времени, все же геометрическая алгебра несколько веков способствовала развитию науки. В геометрических доказательствах алгебраических предложений греки достигли высокого искусства, но решения практических задач они избегали.
Совсем иначе подошел к изложению вопросов алгебры аль-Хорезми. Он показал, что алгебра может существовать самостоятельно, вне геометрии.
— одна из древнейших отраслей математики. Геометрические тела были известны задолго до того, как были выведены математические принципы. Геометрия — это математическое исследование точек, линий, плоскостей, замкнутых плоских фигур и твердых тел. Используя это, можно описать или построить каждый видимый и невидимый предмет.
Геометрия происходит от слова «
geo»
— земля, «
metria»
— мера. Геометрия возникла как область знаний, занимающаяся пространственными отношениями. Геометрия одна из двух областей математики, вторая — арифметика, или алгебра.
История возникновения геометрии
Геометрия с практической точки зрения — это потребность измерять формы. Считается, что геометрия впервые стала важной, когда Египетский фараон хотел обложить налогом фермеров, которые выращивали урожай вдоль реки Нил. Чтобы вычислить правильную сумму налога, люди фараона должны были измерить количество обрабатываемой земли.
Около (2900) лет до нашей эры была построена первая египетская пирамида. Знание геометрии было необходимо для построения пирамид, которые состояли из квадратного основания и треугольных граней. Самая ранняя запись формулы для вычисления площади треугольника датируется (2000) годом до нашей эры. Египтяне и вавилоняне разработали практическую геометрию для решения повседневных проблем, но нет никаких доказательств того, что они логически выводили геометрические факты из основных принципов.
Именно греки (600) – (400) лет до нашей эры разработали принципы современной геометрии. Фалес Милетский изучил подобные треугольники и написал доказательство того, что соответствующие стороны подобных треугольников пропорциональны.
Пифагор ((569-475) лет до н. э.)
Следующим считается Пифагор. Пифагор был первым математиком, логически выводящим геометрические факты из основных принципов. Пифагор основал братство под названием «пифагорейцы», которые преследовали знания в математике, науке и философии. Некоторые люди считают пифагорейскую школу местом рождения разума и логической мысли. Наиболее известным и полезным вкладом пифагорейцев была теорема Пифагора. Теория гласит, что сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника равна квадрату гипотенузы.
Евклид Александрийский ((325-265) лет до н. э.)
Евклид Александрийский считается “отцом современной геометрии”. Евклид ввел математическую строгость и аксиоматический метод, все еще используемый сегодня. Его книга “Начало”, написанная около 300 лет до нашей эры, считается самым влиятельным учебником всех времен и народов. Книга «Начало» была известна всем образованным людям на западе до середины 20-го века. Евклид изобрел (23) определения, (5) постулатов и (5) аксиом.
— это утверждение, которое принимается без доказательств. Как только он доказал свое первое утверждение, на его основе он доказал второе, затем третье и т. д. Этот процесс известен как
аксиоматический подход
. Элементы Евклида составляют основу современной геометрии, которая преподается сегодня в школах, колледжах и университетах.
Рене Декарт ((1596-1650))
До появления Рене Декарта в геометрии не было крупных изменений. Декарт объединил алгебру и геометрию для создания аналитической геометрии. Аналитическая геометрия, также известная как координатная геометрия, включает размещение геометрической фигуры в системе координат для иллюстрации доказательств и получения информации с использованием алгебраических уравнений.
Карл Фридрих Гаусс ((1777-1855))
Следующее большое развитие в геометрии пришло с развитием неевклидовой геометрии. Карл Фридрих Гаусс изобрел неевклидову геометрию, не основанную на постулатах Евклида. Параллельный постулат гласит, что через заданную точку на прямой есть одна и только одна прямая, параллельная этой линии. Неевклидова геометрия задала математическую основу для теории относительности Эйнштейна.
Больше уроков и заданий по всем школьным предметам в онлайн-школе «Альфа». Запишитесь на пробное занятие прямо сейчас!
Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!
Скачать материал
Скачать материал
- Сейчас обучается 48 человек из 31 региона
- Сейчас обучается 184 человека из 50 регионов
Описание презентации по отдельным слайдам:
-
1 слайд
История возникновения алгебры и геометрии
Валатина Дарина, 10 класс -
2 слайд
История возникновения алгебры
Алгебра, вместе с арифметикой, есть наука о числах и о величинах вообще. Различие между арифметикой и алгеброй состоит в том, что первая наука исследует свойства данных, определённых величин, значение которых может быть произвольное, а, следовательно, алгебра изучает только те свойства величин, которые общие всем величинам, независимо от их значений.
Алгебру делят на низшую и высшую.
К низшей алгебре относят теорию простейших арифметических операций над алгебраическими выражениями, решение уравнений первой и второй степени, теорию степеней и корней, теорию логарифмов и комбинаторику.
К высшей алгебре относят теорию уравнений произвольных степеней, теорию исключений, теорию симметричных функций, теорию подстановок, и, наконец, изложение различных частных способов отделения корней уравнений, определения числа вещественных или мнимых корней данного уравнения с численными коэффицентами, и приближённое или аналитическое (когда это возможно) уравнений произвольных степеней. -
3 слайд
Диофант Александрийский
Первые дошедшие до нас сочинения, содержащие исследование алгебраических вопросов, это работы Диофа́нта Александри́йского— древнегреческий математик, живший предположительно в III веке н. э.
Основное произведение Диофанта — «Арифметика» в 13 книгах. К сожалению, сохранились только 6 первых книг из 13.
Первая книга предварена обширным введением, в котором описаны используемые Диофантом обозначения. Неизвестную Диофант называет «числом» и обозначает буквой ς, квадрат неизвестной — символом . Предусмотрены специальные знаки для следующих степеней неизвестного, вплоть до шестой, называемой кубо-кубом, и для противоположных им степеней. Знака сложения у Диофанта нет: он просто пишет рядом положительные члены, причём в каждом члене сначала записывается степень неизвестного, а затем численный коэффициент. Вычитаемые члены также записываются рядом, а перед всей их группой ставится специальный знак в виде перевёрнутой буквы Ψ. Знак равенства обозначается двумя буквами ἴσ. -
4 слайд
Сформулированы правило приведения подобных членов и правило прибавления или вычитания к обеим частям уравнения одного и того же числа или выражения: то, что потом у аль-Хорезми стало называться «алгеброй и алмукабалой». Введено правило знаков: минус на минус даёт плюс; это правило используется при перемножении двух выражений с вычитаемыми членами. Всё это формулируется в общем виде, без отсылки к геометрическим истолкованиям.
Бо́льшая часть труда — это сборник задач с решениями (в сохранившихся шести книгах их всего 189), умело подобранных для иллюстрации общих методов. Сначала Диофант исследует системы уравнений 2-го порядка от 2 неизвестных; он указывает метод нахождения других решений, если одно уже известно. Затем аналогичные методы он применяет к уравнениям высших степеней.
В X веке »Арифметика» была переведена на арабский язык, после чего математики стран ислама продолжили некоторые исследования Диофанта.
Трактат Диофанта «О многоугольных числах» сохранился не полностью; в сохранившейся части методами геометрической алгебры выводится ряд вспомогательных теорем.
Из сочинений Диофанта «Об измерении поверхностей» и «Об умножении» также сохранились лишь отрывки.
В честь Диофанта назван кратер на Луне. -
5 слайд
Задача о возрасте Диофанта
Прах Диофанта гробница покоит; дивись ей и камень
Мудрым искусством его скажет усопшего век.
Волей богов шестую часть жизни он прожил ребенком.
И половину шестой встретил с пушком на щеках.
Только минула седьмая, с подругой он обручился.
С нею, пять лет проведя, сына дождался мудрец;
Только полжизни отцовской возлюбленный сын его прожил.
Отнят он был у отца ранней могилой своей.
Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе,
Тут и увидел предел жизни печальной своей.
Ответ: 84 года -
6 слайд
Древняя Индия
Ещё в глубокой древности Индия славилась знаниями в области астрономии, грамматики и других наук.
Наибольших успехов индийские ученые достигли в области математики. Они явились основоположниками арифметики и алгебры, в разработке которых прошли дальше греков.
Наиболее известными индийскими математиками являются Архиабхата (конец 1 века), Брахмагупта (12 век).
Именно индийцам мы обязаны современной системой записи обыкновенных дробей с числителем ,расположенным над знаменателем(но без горизонтальной черты, отделяющей числитель от знаменателя).
Правила извлечения квадратного и кубического корней привел индийский математик Арьябхата (род. Ок. 475) в своем сочинении «Арьябхатия», написанном в 499 г. -
7 слайд
Древний мир
Описание извлечения квадратного и кубического корня в древнем китайском трактате является наиболее ранним в истории математики.
Вавилоняне для извлечения стандартных квадратных корней пользовались таблицами, обратными по отношению к таблицам квадратов. Сохранилось еще несколько примеров нахождения вавилонянами приближенных значений квадратных корней.
В Европе извлечения квадратного корня, основанное на разложении квадрата суммы, впервые встречается в написанных во второй половине IV в. Теоном Александрийским комментариях к астрономическому сочинению Птоломея «Великое построение», позже названному «Альмагестом». -
8 слайд
Мухаммед ибн Муса аль-Хорезми
Математик, астроном и географ, основатель классической алгебры.
Родился в Хорезме в 783 году.
Аль-Хорезми написал книгу «Об индийском счёте», способствовавшую популяризации десятичной позиционной системы записи чисел. Книга сыграла очень большую роль в развитии европейской арифметики и внедрении индо-арабских цифр.
Имя автора в латинизированной форме (Algorismus, Algorithmus) стало обозначать в средневековой Европе всю систему десятичной арифметики; отсюда берёт начало современный термин алгоритм.
Примерно в 830 году Мухаммед создал первый известный арабский трактат по алгебре.
Аль-Хорезми известен своей «Книгой о восполнении и противопоставлении» (Китаб аль-джебр валь мукабала), от названия которой произошло слово «алгебра». В теоретической части своего трактата аль-Хорезми даёт классификацию уравнений 1-й и 2-й степени и выделяет шесть видов. -
9 слайд
«Алгебра» аль-Хорезми, положившая начало развития новой самостоятельной научной дисциплины, позднее комментировалась и совершенствовалась многими восточными математиками. Эта книга была дважды переведена в XII веке на латинский язык и сыграла чрезвычайно важную роль в развитии математики в Европе. Под непосредственным влиянием этого труда находился такой выдающийся европейский математик XIII в., как Леонардо Пизанский.
Аль-Хорезми отделил алгебру от геометрии.Для решения уравнений аль-Хорезми вводит два действия:
1. аль-джебр, состоит в перенесении отрицательного члена из одной части в другую для получения в обеих частях положительных членов. 2.аль-мукабала — состоит в приведении подобных членов в обеих частях уравнения. Кроме того, аль-Хорезми вводит правило умножения многочленов. Применение всех этих действий и введённых выше правил он показывает на примере 40 задач.
Трактат по алгебре включает также «главу о сделках» (в которой рассматривается правило для нахождения неизвестного члена пропорции по трём известным членам). -
-
11 слайд
Омар Хайям
Омар Хайям – всемирно известный классик персидско-таджикской поэзии, ученый, математик, астроном, поэт и философ.
Первый научный трактат Хайяма «Проблемы арифметики « не сохранился, по косвенным свидетельствам его тема – извлечение корня и правило разложения натуральной степени двучлена, известного как бином Ньютона.
В Самарканде был написан его труд «О доказательствах задач алгебры и аллукабалы» (1069).
В этом трактате приведены решения уравнений до третьей степени включительно, там же дана классификация кубических уравнений. -
12 слайд
Леонардо Пизанский
Первым сочинением, появившемся в Европе после продолжительного пробела со времен Диофанта, считается трактат итальянского купца Леонардо, который, путешествуя по Востоку, ознакомился там с индийскими числами(ныне называемыми арабскими),и с арифметикой и алгеброй арабов.
Леонардо Пизанский (1170-1250гг, Пиза) — первый крупный математик средневековой Европы. Наиболее известен под прозвищем Фибоначчи.
Значительную часть усвоенных им знаний он изложил в своей выдающейся «Книге абака» (1202 год; до наших дней сохранилась только дополненная рукопись 1228 года). Эта книга содержит почти все арифметические и алгебраические сведения того времени, изложенные с исключительной полнотой и глубиной. Леонардо впервые в Европе использовал отрицательные числа, которые рассматривал как долг. -
13 слайд
Другая книга Фибоначчи, «Практика геометрии» (1220 год), содержит разнообразные теоремы, относящиеся к измерительным методам.
Наряду с классическими результатами Фибоначчи приводит свои собственные — например, первое доказательство того, что три медианы треугольника пересекаются в одной точке (Архимеду этот факт был известен, но если его доказательство и существовало, до нас оно не дошло).
В трактате «Цветок» (1225 год) Фибоначчи исследовал кубическое уравнение , предложенное ему Иоанном Палермским на математическом состязании при дворе императора Фридриха II. Сам Иоанн Палермский почти наверняка заимствовал это уравнение из трактата Омара Хайяма «О доказательствах задач алгебры», где оно приводится как пример одного из видов в классификации кубических уравнений. Леонардо Пизанский исследовал это уравнение, а затем нашёл приближённое значение корня в шестидесятеричных дробях, не указывая способа своего решения. -
14 слайд
В честь учёного назван числовой ряд, в котором каждое последующее число равно сумме двух предыдущих. Эта числовая последовательность носит название чисел Фибоначчи:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584…
«Задача о семи старухах».
Старухи направляются в Рим, каждая имеет 7 мулов, каждый мул тащи 7 мешков, в каждом мешке находится 7 хлебов, у каждого хлеба лежит 7 ножей, каждый нож нарежет 7 кусков хлеба. Чему равно общее число всего перечисленного? В историческом отношении эта задача интересна тем, что она тождественна с задачей, которая встречалась в папирусе Ринда (Египет), то есть через три тысячи лет после египетских школьников задачу предлагалось разрешить итальянским школьникам. -
15 слайд
Франсуа Виет
Франсуа Виет (1540 — 13.02.1603) — французский математик, основоположник символической алгебры.
Родился в 1540 году в Фонтене-ле-Конт. Франсуа Виет предложил новый язык «общей арифметики» — символический язык алгебры.
Виет чётко представлял себе конечную цель — разработку нового языка, своего рода обобщённой арифметики, которая дала бы возможность проводить математические исследования с недостижимыми ранее глубиной и общностью. -
16 слайд
Виет всюду делит изложение на две части: общие законы и их конкретно-числовые реализации. Он сначала решает задачи в общем виде, и только потом приводит числовые примеры. В общей части он обозначает буквами не только неизвестные, что уже встречалось ранее, но и все прочие параметры, для которых он придумал термин «коэффициенты». Виет использовал для этого только заглавные буквы — гласные для неизвестных, согласные для коэффициентов.
Франсуа Виет свободно применяет разнообразные алгебраические преобразования — например, замену переменных или смену знака выражения при переносе его в другую часть уравнения. Это стоит отметить, принимая во внимание тогдашнее подозрительное отношение к отрицательным числам. Из знаков операций Виет использовал три: плюс, минус и черту дроби для деления; умножение обозначалось предлогом «in». Вместо скобок он, как и другие математики XVI века, надчёркивал сверху выделяемое выражение. Показатели степени у Виета ещё записываются словесно.
Новая система позволила просто, ясно и компактно описать общие законы арифметики и алгоритмы. Символика Виета была сразу же оценена учёными разных стран, которые приступили к её совершенствованию.
Около 1570 года подготовил «Математический Канон» — капитальный труд по тригонометрии, который издал в Париже в 1579 году.
Практически современный вид алгебраический язык получил в XVII веке у Декарта. -
17 слайд
В развитии буквенной символики алгебры многие ученые сыграли свою роль. Это и Аль-Каши(ввел понятие десятичной дроби),
и Иоганн Кеплер(предложил ставить запятую после целой части десятичной дроби),и Ян Видман(впервые употребил знаки + и -),
и Роберт Рикордон(впервые ввел знак =), и Джон Виллис(ввел знак бесконечности), и Рене Декарт,и Готфрид Лейбниц(впервые использовал знаки умножения, в виде точки, и деления, в виде двух точек).
Эти и многие другие ученые в разные столетия вносили свой вклад в развитие алгебры. И то, что сейчас мы изучаем в школе, раньше считалось величайшим открытием. -
18 слайд
История возникновения геометрии
Слово «геометрия» греческого происхождения. В буквальном смысле оно означает «землемерие».
Геометрия -это наука, изучающая формы,размеры и взаимное расположение фигур.
Возникла геометрия в Египте более 4000 лет назад. Древние египтяне сумели довольно точно определять площади фигур, объёмы некоторых тел, решать некоторые другие геометрические задачи.
Но геометрии как науки у них не было. У них было много различных правил-рецептов, не соединенных между собой общей идеей, не приведённых в единую стройную систему.
Египет стали посещать ученые. И достижения египетской науки постепенно стали известны древним грекам.
Но греки не просто усвоили достижения египтян. Они исправили их ошибки и развивали геометрию дальше. Именно в древней Греции около 2500 лет назад геометрия стала математической наукой. Ни в египетских, ни в вавилонских текстах мы не находим ничего, что хотя бы отдаленно было похоже на математическое доказательство. Понятие о доказательстве ввели греки, и это является их величайшей заслугой. Греки ввели принцип, согласно которому каждое утверждение, касающееся чисел и фигур (формула), за исключением лишь небольшого числа, должно быть доказано, выведено убедительным, не допускающим сомнений образом из этих «совершенно очевидных» истин.
Творцы египетской и вавилонской математики остались безымянными. Греки сохранили имена своих мудрецов. -
19 слайд
Фалес Милетский
Первое из них — имя Фалеса Милетского — является также первым именем, вошедшим в историю науки.
Фалес жил в VI в. до н. э. в городе Милете на Малоазиатском побережье Эгейского моря.
Фалес, как утверждают греки, дал миру первые математические доказательства. В числе доказанных им положений (теорем) называют следующие:
Диаметр делит круг на две равные части.
Углы при основании равнобедренного треугольника равны.
Два треугольника, у которых одинаковы стороны и прилежащие к ней углы, равны.
Кроме того, он первый дал построение круга, описанного вокруг прямоугольного треугольника.
Простейший характер указанных теорем, их интуитивная очевидность показывают, что Фалес полностью осознавал значение доказательства как такового. -
20 слайд
Евклид
Евклид – древнегреческий математик, автор первого из дошедших до нас теоретических трактатов по математике.
Евклид – первый математик Александрийской школы. Его главная работа – «Начала»; в ней он подвел итог всему предшествующему развитию греческой математики и создал фундамент дальнейшего развития математики.В «Началах» был развит аксиоматический подход к построению геометрии ,который состоит в том ,что сначала формулируются основные положения(аксиомы),а затем на их основе посредством рассуждений доказываются другие утверждения. Евклид так же был автором работ по астрономии, оптике, музыке и др. -
21 слайд
Архимед
Архимед (287 до н. э. – 212 до н. э.) — древнегреческий математик, физик и инженер из Сиракуз. Сделал множество открытий в геометрии.
Отец Архимеда с детства привил сыну любовь к математике, механике и астрономии.
Греки до Архимеда сумели определить площади многоугольников и круга, объем призмы и цилиндра, пирамиды и конуса. Но только Архимед нашел гораздо более общий метод вычисления площадей или объемов.
Огромное значение для развития математики имело вычисленное Архимедом отношение длины окружности к диаметру.
В работе «об измерении круга» Архимед дал свое знаменитое приближение для числа π. -
22 слайд
Пифагор
Пифагор Самосский — древнегреческий философ, математик и мистик, создатель религиозно-философской школы пифагорейцев.
Самые ранние известные источники об учении Пифагора появились лишь 200 лет спустя после его смерти. Сам Пифагор не оставил сочинений, и все сведения о нём и его учении основываются на трудах его последователей, не всегда беспристрастных. В современном мире Пифагор считается великим математиком и космологом древности, однако ранние свидетельства до III в. до н. э. не упоминают о таких его заслугах.
Античные авторы нашей эры отдают Пифагору авторство известной теоремы: квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равняется сумме квадратов катетов.
Современные историки предполагают, что Пифагор не доказывал теорему, но мог передать грекам это знание, известное в Вавилоне за 1000 лет до Пифагора (согласно вавилонским глиняным табличкам с записями математических уравнений). Хотя сомнение в авторстве Пифагора существует, но весомых аргументов, чтобы это оспорить, нет.
В то же время, научные заслуги школы пифагорейцев в математике и космологии бесспорны. -
23 слайд
Рене Декарт
Рене Декарт (1596 — 1650) — французский математик, физик и физиолог, философ. Декарт разработал курс аналитической геометрии. Этот человек является автором нынешней алгебраической символики.
В 1637 году вышел в свет главный философско-математический труд Декарта, «Рассуждение о методе» (полное название: «Рассуждение о методе, позволяющем направлять свой разум и отыскивать истину в науках»).
В этой книге излагалась аналитическая геометрия, а в приложениях — многочисленные результаты в алгебре, геометрии, оптике (в том числе — правильная формулировка закона преломления света) и многое другое.
В работе «Геометрия» (1637), открывшей взаимопроникновение алгебры и геометрии, Декарт ввел впервые понятия переменной величины и функции.
Декарту принадлежит заслуга создания современных систем обозначений: он ввел знаки переменных величин (x, y, z…), коэффициентов (a, b, c…), обозначение степеней (a2, x-1…). -
24 слайд
Декарт сформулировал основную теорему алгебры: «число корней алгебраического уравнения равно его степени», доказательство которой было получено лишь в конце 18 в. К.Ф. Гауссом.
В декартовой системе координат получили реальное истолкование отрицательные числа.
Главное достижение Декарта — построение аналитической геометрии (термин предложил Ньютон) , в которой геометрические задачи переводились на язык алгебры при помощи метода координат. При переходе на алгебраический язык многие трудные геометрические задачи становятся почти тривиальными.
Записи формул алгебры у Декарта почти не отличаются от современной. Большое значение для формулировок общих теорем алгебры имела запись уравнений, при которой в одной из частей стоит нуль.
Декарт проводил научные исследования свойств уравнений; сформулировал положение о том, что число действительных и комплексных корней уравнения равно его степени. -
25 слайд
Пьер Ферма (1601-1665)
Ферма постоянно интересовался арифметическими задачами, обменивался сложными задачами с современниками. Например, в своём письме, получившем название «Второго вызова математикам» (февраль 1657), он предложил найти общее правило решения уравнения Пелля в целых числах. В письме он предлагал найти решения при a=149, 109, 433. Полное решение задачи Ферма было найдено лишь в 1759 году Эйлером.
Начал Ферма с задач про магические квадраты и кубы, но постепенно переключился на закономерности натуральных чисел — арифметические теоремы. Несомненно влияние Диофанта на Ферма, и символично, что он записывает свои удивительные открытия на полях «Арифметики».
Эйлер доказал (1749) ещё одну гипотезу Ферма (сам Ферма редко приводил доказательства своих утверждений): простые числа вида 4k+1 представляются в виде суммы квадратов (5=4+1; 13=9+4), причём единственным способом, а для чисел, содержащих в своём разложении на простые множители простые числа вида 4k+3 в нечётной степени, такое представление невозможно.
Наряду с Декартом, Ферма считается основателем аналитической геометрии. В работе «Введение к теории плоских и пространственных мест», ставшей известной в 1636 году. -
26 слайд
Потребности жизни заставляли людей находить способы измерения площадей и объемов в разных странах и в разное время.
Ученые Древней Греции, Индии, Китая, Европы работали над одними и теми же задачами.
Ученые, жившие после Евклида добавили к «Началам» несколько новых теорем,кое-что изменили, но основная масса материала, границы,определяющие ее объем и метод остались прежними. Поэтому геометрия, которую мы изучаем, называется Евклидовой.
![Декарт сформулировал основную теорему алгебры: "число корней алгебраического...](https://documents.infourok.ru/3b88a312-f06b-4316-af94-1c91fd8ecfa8/0/slide_24.jpg "Декарт сформулировал основную теорему алгебры: "число корней алгебраического...")
Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:
6 264 995 материалов в базе
- Выберите категорию:
- Выберите учебник и тему
- Выберите класс:
-
Тип материала:
-
Все материалы
-
Статьи
-
Научные работы
-
Видеоуроки
-
Презентации
-
Конспекты
-
Тесты
-
Рабочие программы
-
Другие методич. материалы
-
Найти материалы
Другие материалы
- 10.01.2022
- 209
- 0
- 10.01.2022
- 105
- 0
- 10.01.2022
- 433
- 40
- 10.01.2022
- 71
- 0
- 10.01.2022
- 144
- 0
Вам будут интересны эти курсы:
-
Курс повышения квалификации «Внедрение системы компьютерной математики в процесс обучения математике в старших классах в рамках реализации ФГОС»
-
Курс повышения квалификации «Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»
-
Курс профессиональной переподготовки «Экономика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
-
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания основ финансовой грамотности в общеобразовательной школе»
-
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания информатики в начальных классах с учетом ФГОС НОО»
-
Курс повышения квалификации «Особенности подготовки к сдаче ОГЭ по математике в условиях реализации ФГОС ООО»
-
Курс профессиональной переподготовки «Теория и методика обучения информатике в начальной школе»
-
Курс профессиональной переподготовки «Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
-
Курс профессиональной переподготовки «Инженерная графика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
-
Курс повышения квалификации «Развитие элементарных математических представлений у детей дошкольного возраста»
-
Курс повышения квалификации «Методика преподавания курса «Шахматы» в общеобразовательных организациях в рамках ФГОС НОО»
-
Курс повышения квалификации «Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО»
-
Курс профессиональной переподготовки «Черчение: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Содержание
- — Кто впервые отделили алгебру от арифметики?
- — Что входит в геометрию?
- — Когда математика делится на алгебру и геометрию?
- — Как произошло слово алгебра?
- — Когда появилась арифметика?
- — Что такое геометрия простым языком?
- — Какие три геометрические фигуры не имеют определения?
- — Какие бывают виды геометрии?
- — В каком классе появилась геометрия?
- — Какие уроки начинаются с 5 класса?
- — Какие уроки в 10 классе?
- — Как появилась алгебра кратко?
- — Кто является основателем алгебры?
- — Какая бывает алгебра?
Кто впервые отделили алгебру от арифметики?
В истории математики ал-Хорезми был первым, кто отделил алгебру от арифметики.
Что входит в геометрию?
γεωμετρία, от γῆ — земля и μετρέω — измеряю) — раздел математики, изучающий пространственные структуры и отношения, а также их обобщения. Геометрия как систематическая наука появилась в Древней Греции, её аксиоматические построения описаны в «Началах» Евклида.
Когда математика делится на алгебру и геометрию?
С 7 класса начинается разделение обучения математике на алгебру (системы координат, системы уравнений, тригонометрия) и геометрию (планиметрия, стереометрия, векторы).
Как произошло слово алгебра?
Термин «алгебра» взят из сочинения среднеазиатского учёного Аль-Хорезми «Краткая книга об исчислении аль-джабра и аль-мукабалы» (825 год). Слово «аль-джабр» при этом означало операцию переноса вычитаемых из одной части уравнения в другую и его буквальный смысл «восполнение».
Когда появилась арифметика?
Первые достоверные сведения об арифметических знаниях обнаружены в исторических памятниках Вавилона и Древнего Египта, относящихся к III—II тысячелетиям до н. э. Большой вклад в развитие арифметики внесли греческие математики, в частности пифагорейцы, которые пытались с помощью чисел определить все закономерности мира.
Что такое геометрия простым языком?
раздел математики, изучающий пространственные отношения и формы, а также другие отношений и формы, сходные с пространственными по своей структуре.
Какие три геометрические фигуры не имеют определения?
Отрезок, луч, ломаная линия — самые простые геометрические фигуры на плоскости. … Плоскость, как и прямая, — это исходное понятие, у которого нет определения. У плоскости, как и у прямой, не возможно увидеть ни начала, ни конца. Всегда рассматривается лишь часть плоскости, ограниченная замкнутой ломаной линией.
Какие бывают виды геометрии?
Современная геометрия включает в себя следующие дополнительные разделы:
- Многомерная геометрия.
- Неевклидовы геометрии.
- Сферическая геометрия.
- Геометрия Лобачевского.
- Риманова геометрия.
- Геометрия многообразий.
В каком классе появилась геометрия?
Традиционный курс геометрии начинается с 7 класса, причем изучается только планиметрия, когда уже поздно развивать у детей пространственное воображение, так как оно формируется в возрасте 8-12 лет, а с геометрическими фигурами ребенок знакомится уже в первые 5-6 лет своей жизни.
Какие уроки начинаются с 5 класса?
Обычно школьников ждут следующие предметы в 5 классе:
- Русский язык
- Иностранный язык (чаще всего английский)
- Литература
- Информатика
- История древнего мира
- Математика
- Обществознание
- Музыка
Какие уроки в 10 классе?
Но в ряде школ астрономия начинает изучаться и в 10 классе.
…
Обязаны быть следующие учебные дисциплины:
- история;
- математика;
- иностранный язык;
- физическая культура;
- русский язык и литература;
- основы безопасности жизнедеятельности.
Как появилась алгебра кратко?
Слово «алгебра» возникло после появления трактата «Китаб аль-джебр валь-мукабала» математика и астронома из г. Хивы Мухаммеда бен Муса аль-Хорезми (787 — ок. 850). Термин «аль-джебр», взятый из названия этой книги, в дальнейшем стал употребляться как «алгебра».
Кто является основателем алгебры?
Основоположником её является Дж. Буль, английский математик и логик, положивший в основу своего логического учения аналогию между алгеброй и логикой.
Какая бывает алгебра?
Алгебра Аналитическая геометрия (ф) Линейная алгебра (ф) и геометрия Дискретная математика
Интересные материалы:
Что такое Мои теги?
Что такое Молды для Фоамирана?
Что такое молочная железа у мужчин?
Что такое мом?
Что такое моноциты повышены у взрослого?
Что такое морфем в русском языке?
Что такое мозаичная форма СД?
Что такое мтс головного мозга?
Что такое Мультипекарь?
Что такое муниципальное хозяйство?
КАК ПОЯВИЛАСЬ АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ
- Выполнила :Салахова Гунел
- Ученица 7 Б класса
Суть алгебры
Алгебра, вместе с арифметикой, есть наука о числах и через посредство чисел – о величинах вообще. Не занимаясь изучением свойств каких-нибудь определенных, конкретных величин, обе эти науки исследуют свойства отвлеченных величин, как таковых, независимо от того, к каким конкретным приложениям они способны. Различие между арифметикой и алгеброй состоит в том, что первая наука исследует свойства данных, определенных величин, между тем как алгебра занимается изучением общих величин, значение которых может быть произвольное, а, следовательно, алгебра изучает только те свойства величин, которые общи всем величинам, независимо от их значений. Таким образом, алгебра есть обобщенная арифметика. Это подало повод Ньютону назвать свой трактат об алгебре «Общая арифметика». Гамильтон, полагая, что подобно тому, как геометрия изучает свойства пространства, алгебра изучает свойства времени, назвал алгебру «Наукою чистого времени» – название, которое Морган предлагал изменить на «Исчисление последовательности». Однако такие определения не выражают ни существенных свойств алгебры, ни исторического ее развития. Алгебру можно определить как «науку о количественных соотношениях».
ГЕОМЕТРИЯ
раздел математики, изучающий пространственные структуры и отношения, а также их обобщения.
Геометрия как систематическая наука появилась в Древней Греции, её аксиоматические построения описаны в «Началах» Евклида. Евклидова геометрия занималась изучением простейших фигур на плоскости и в пространстве, вычислением их площади и объёма. Предложенный Декартом в 1637 году координатный метод лёг в основу аналитической и дифференциальной геометрии, а задачи, связанные с черчением, привели к созданию начертательной и проективной геометрии. При этом все построения оставались в рамках аксиоматического подхода Евклида. Коренные изменения связаны с работами Лобачевского в 1829 году, который отказался от аксиомы параллельности и создал новую неевклидову геометрию, определив таким образом путь дальнейшего развития науки и создания новых теорий.
История алгебры
Арифметика изучается с самых древних сохранившихся текстов, относимых к математике. В нынешних справочниках признается, что на развитие алгебры оказал влияние труд древнегреческого математика Диофанта Александрийского «Арифметика» (3 век с рождества Христова).
В труде арабского математика Мухаммеда аль-Хорезми под названием «Альджебр аль-мукабала» (9 век нашей эры), рассмотрены методы решения задач, сводящихся в современной терминологии к алгебраическим уравнениям первой и второй степеней. От названия этой работы и произошел термин «алгебра».
В 15-17 веках в работах европейских математиков появились применяемые в настоящее время обозначения алгебраических операций («+», «-»), скобки, знаки радикалов, обозначение степеней числа. Франсуа Виет в конце 16 века ввел буквенные обозначения для переменных.
В 17-18 веках под алгеброй понимается наука о вычислениях с использованием переменных, записанных с помощью букв, в частности решение алгебраических уравнений. В настоящее время в школьном образовании подобные буквенные вычисления называются элементарной алгеброй.
с помощью элементарных арифметических операций и операции извлечения корней становится центральной задачей алгебры.
Итальянскими математиками в 15 веке были найдены формулы для решения общего уравнения 3-й и 4-й степени, однако для более высоких степеней задача до 19 века не поддавалась решению.
В 1824 году норвежский математик Нильс Абель доказал, что уравнения выше 4-й степени в общем случае в радикалах не разрешимы. В 1830 году французский математик Эварист Галуа в рамках созданной им теории Галуа вывел общий критерий разрешимости алгебраического уравнения в радикалах.
С середины 19 века в центре алгебраических исследований оказывается изучение произвольных алгебраических операций. Так расширялось понятия числа, появилось понятие алгебра логики, были исследованы кватернионы, создано матричное исчисление, получила развитие теория групп.
Алгебра как общая теория произвольных алгебраических операций стала восприниматься с начала 20 века с появлением работ Давида Гильберта, Э. Штейница, Э. Артина, Эмми Нётер. Это понимание было закреплено в вышедшей в 1930 году монографии Б. Л. ван дер Вардена «Современная алгебра», остающейся до настоящего времени востребованным учебником по алгебре.
