Как посчитать хорду окружности
Онлайн калькулятор
Хорда круга – отрезок соединяющий две точки, лежащие на окружности.
Чтобы посчитать длину хорды вам необходимо знать, чему равен радиус (r) окружности и угол (α) между двумя радиусами, образующими вместе с хордой равнобедренный треугольник (см. рис.)
Как посчитать длину хорды (градусы)
Чему равна длина хорды окружности если её радиус ,
а
Как посчитать длину хорды (радианы)
Чему равна длина хорды окружности если её радиус ,
а
Теория
Чему равна длина хорды (l) окружности если известны её радиус (r) и центральный угол (α), опирающийся на данную хорду?
Формула
Пример
Если радиус круга равен 4 см, а ∠α = 90°, то длина хорды примерно равна 5.65 см.
Формула длины хорды окружности
Хорда — отрезок соединяющий любые две точки окружности. Диаметр окружности, самая большая хорда.
L — хорда
R — радиус окружности
O — центр окружности
α — центральный угол
Формула длины хорды, ( L ):
Калькулятор для расчета длины хорды окружности :
Дополнительные формулы для окружности:
Отрезки и прямые, связанные с окружностью. Теорема о бабочке
Отрезки и прямые, связанные с окружностью
Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности
Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью
Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности
Отрезок, соединяющий две любые точки окружности
Хорда, проходящая через центр окружности.
Диаметр является самой длинной хордой окружности
Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.
Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания
Прямая, пересекающая окружность в двух точках
| Фигура | Рисунок | Определение и свойства |
| Окружность |  |
|
| Круг |  |
|
| Радиус |  |
|
| Хорда |  |
|
| Диаметр |  |
|
| Касательная |  |
|
| Секущая |  |
| Окружность |
|
Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности
Круг
Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью
Радиус
Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности
Хорда
Отрезок, соединяющий две любые точки окружности
Диаметр
Хорда, проходящая через центр окружности.
Диаметр является самой длинной хордой окружности
Касательная
Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.
Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания
Секущая
Прямая, пересекающая окружность в двух точках
Свойства хорд и дуг окружности
| Фигура | Рисунок | Свойство |
| Диаметр, перпендикулярный к хорде |  |
Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам. |
| Диаметр, проходящий через середину хорды | Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам. | |
| Равные хорды |  |
Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности. |
| Хорды, равноудалённые от центра окружности | Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны. | |
| Две хорды разной длины |  |
Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности. |
| Равные дуги |  |
У равных дуг равны и хорды. |
| Параллельные хорды |  |
Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны. |
| Диаметр, перпендикулярный к хорде |
|
Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.
Диаметр, проходящий через середину хорды
Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.
Равные хорды
Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.
Хорды, равноудалённые от центра окружности
Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.
Две хорды разной длины
Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.
Равные дуги
У равных дуг равны и хорды.
Параллельные хорды
Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.
Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих
Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:
Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.
| Фигура | Рисунок | Теорема |
| Пересекающиеся хорды |  |
|
| Касательные, проведённые к окружности из одной точки |  |
|
| Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки |  |
|
| Секущие, проведённые из одной точки вне круга |  |
Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:
Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.
| Пересекающиеся хорды |
|
| Касательные, проведённые к окружности из одной точки |
|
| Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки |
|
| Секущие, проведённые из одной точки вне круга |
|
| Пересекающиеся хорды |
|
Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:
Касательные, проведённые к окружности из одной точки
Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки
Секущие, проведённые из одной точки вне круга
Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих
Теорема 1 . Предположим, что хорды окружности AB и CD пересекаются в точке E (рис.1).
Тогда справедливо равенство
Доказательство . Заметим, что углы BCD и BAD равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Углы BEC и AED равны как вертикальные. Поэтому треугольники BEC и AED подобны. Следовательно, справедливо равенство
откуда и вытекает требуемое утверждение.
Теорема 2 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены касательная AB и секущая AD (рис.2).
Точка B – точка касания с окружностью, точка C – вторая точка пересечения прямой AD с окружностью. Тогда справедливо равенство
Доказательство . Заметим, что угол ABC образован касательной AB и хордой BC , проходящей через точку касания B . Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги BC . Поскольку угол BDC является вписанным углом, то величина угла BDC также равна половине угловой величины дуги BC . Следовательно, треугольники ABC и ABD подобны (угол A является общим, углы ABC и BDA равны). Поэтому справедливо равенство
откуда и вытекает требуемое утверждение.
Теорема 3 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены секущие AD и AF (рис.3).
Точки C и E – вторые точки пересечения секущих с окружностью. Тогда справедливо равенство
Доказательство . Проведём из точки A касательную AB к окружности (рис. 4).
Точка B – точка касания. В силу теоремы 2 справедливы равенства
откуда и вытекает требуемое утверждение.
Теорема о бабочке
Теорема о бабочке . Через середину G хорды EF некоторой окружности проведены две произвольные хорды AB и CD этой окружности. Точки K и L – точки пересечения хорд AC и BD с хордой EF соответственно (рис.5). Тогда отрезки GK и GL равны.
Доказательство . Существует много доказательств этой теоремы. Изложим доказательство, основанное на теореме синусов, которое, на наш взгляд, является наиболее наглядным. Для этого заметим сначала, что вписанные углы A и D равны, поскольку опираются на одну и ту же дугу. По той же причине равны и вписанные углы C и B . Теперь введём следующие обозначения:
Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику CKG , получим
Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику AKG , получим
Воспользовавшись теоремой 1, получим
Воспользовавшись равенствами (1) и (2), получим
Проводя совершенно аналогичные рассуждения для треугольников BGL и DGL , получим равенство
откуда вытекает равенство
что и завершает доказательство теоремы о бабочке.
http://www-formula.ru/circle-chord-l
http://www.resolventa.ru/demo/training.htm
Как найти длину хорды, стянутой дугой
Хордой называют отрезок, соединяющий две произвольные точки на любой кривой линии, а дуга — это часть кривой, заключенная между крайними точками хорды. Эти два определения могут быть применены к кривой линии любой формы. Однако чаще всего требуется рассчитать длину хорды применительно к кругу, то есть когда дуга является частью окружности.
Инструкция
Если длина дуги (l) между крайними точками, задающими хорду, известна, а кроме нее в условиях дан и радиус окружности (R), задачу вычисления длины хорды (m) можно свести к расчету длины основания равнобедренного треугольника. Боковые стороны этого треугольника будут образованы двумя радиусами окружности, а угол между ними будет центральным углом, который вам и нужно рассчитать в первую очередь. Для этого разделите длину дуги на радиус: l/R. Полученный результат выражен в радианах. Если вам удобнее производить вычисления в градусах, формула будет значительно сложнее — сначала умножьте длину дуги на 360, а затем поделите результат на удвоенное произведение числа Пи на радиус: l*360/(2*π*R) = l*180/(π*R).
Выяснив величину центрального угла, рассчитайте длину хорды. Для этого удвоенный радиус круга умножьте на синус половины центрального угла. Если вы выбрали расчеты в градусах, в общем виде полученную формулу запишите так: m = 2*R*sin(l*90/(π*R)). Для расчетов в радианах она будет содержать на одно математическое действие меньше m = 2*R*sin(l/(2*R)). Например, при длине дуги в 90 см и радиусе 60 см хорда должна иметь длину 2*60*sin(90*90/(3,14*60)) = 120*sin(8100/188,4) = 120*sin(42,99°) ≈ 120*0,68 = 81,6 см при точности расчетов до двух знаков после запятой.
Если в дополнение к длине дуги (l) в условиях задачи дана полная длина окружности (L), выразите через нее радиус, разделив на удвоенное число Пи. Затем подставьте это выражение в общую формулу из предыдущего шага: m = 2*(L/(2*π))*sin(l*90/(π*L/(2*π))). После упрощения выражения у вас должно получиться такое равенство для расчетов в градусах: m = L/π*sin(l*180/L). Для вычислений в радианах оно будет выглядеть так: m = L/π*sin(l*π/L). Например, если длина дуги составляет 90 см, а длина окружности — 376,8 см, длина хорды составит 376,8/3,14*sin(90*180/376,8) = 120*sin(42,99°) ≈ 120*0,68 = 81,6 см.
Войти на сайт
или
Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?
This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.
Как посчитать хорду окружности
- Главная
- /
- Математика
- /
- Геометрия
- /
- Как посчитать хорду окружности
Чтобы посчитать хорду круга (окружности) просто воспользуйтесь нашим удобным онлайн калькулятором:
Онлайн калькулятор
Хорда круга – отрезок соединяющий две точки, лежащие на окружности.
Чтобы посчитать длину хорды вам необходимо знать, чему равен радиус (r) окружности и угол (α) между двумя радиусами, образующими вместе с хордой равнобедренный треугольник (см. рис.)
Как посчитать длину хорды (градусы)
Чему равна длина хорды окружности если её радиус ,
а
угол α °
Ответ:
0
Как посчитать длину хорды (радианы)
Чему равна длина хорды окружности если её радиус ,
а
угол α рад
Ответ:
0
Теория
Чему равна длина хорды (l) окружности если известны её радиус (r) и центральный угол (α), опирающийся на данную хорду?
Формула
l = 2r⋅sinα/2
Пример
Если радиус круга равен 4 см, а ∠α = 90°, то длина хорды примерно равна 5.65 см.
См. также
Круговой сегмент — часть круга ограниченная дугой и секущей (хордой).
На рисунке:
L — длина дуги сегмента
c — хорда
R — радиус
a — угол сегмента
h — высота
Первый калькулятор рассчитывает параметры сегмента, если известен радиус и угол по следующим формулам:
Формулы вычисления параметров сегмента
Площадь сегмента:
[1]
Длина дуги:
Длина хорды:
Высота сегмента:
Сегмент
Угол в градусах, образуемый радиусами сектора
Точность вычисления
Знаков после запятой: 2
Однако, как справедливо заметил наш пользователь:«на практике часто случается, что как радиус дуги, так и угол неизвестны» (см. длина дуги ). Для этого случая для расчета площади сегмента и длины дуги можно использовать следующий калькулятор:
Параметры сегмента по хорде и высоте
Точность вычисления
Знаков после запятой: 2
Калькулятор вычисляет радиус круга по длине хорды и высоте сегмента по следующей формуле:
Далее, зная радиус и длину хорды, легко найти угол сегмента по формуле:
Остальные параметры сегмента вычисляются аналогично первому калькулятору, по формулам, приведенным в начале статьи.
Следующий калькулятор вычисляет площадь сегмента по высоте и радиусу:
Площадь сегмента круга по радиусу и высоте
Точность вычисления
Знаков после запятой: 2
Этот калькулятор вычисляет угол из высоты и радиуса по следующей формуле:
далее используется формула [1] для получения площади.
15 вычислений по сегменту круга в одной программе
Последний калькулятор включает в себя все оставшиеся вычисления параметров кругового сегмента:
- длина дуги
- угол
- хорда
- высота
- радиус
- площадь
Выберите два известных аргумента и калькулятор выдаст вам все оставшиеся.
Круговой сегмент — все варианты расчета
Точность вычисления
Знаков после запятой: 2
Файл очень большой, при загрузке и создании может наблюдаться торможение браузера.
Хорда — под этим понятием понимается отрезок, который соединяет 2 любые точки, отмеченные на окружности.
Если хорда проходит через её центр, то она будет диаметром.
Для того, чтобы найти длину хорды l, можно воспользоваться следующей формулой:
l = 2R * sin(α/2).
Здесь: R — радиус окружности и α — центральный угол.
Кстати, диаметр как частный случай хорды, имеет самую максимальную длину.
Вообще, задача нахождения длины хорды нередко возникает перед инженерами, механиками или архитекторами.
Пример
Радиус окружности R равен 5 см.
Угол α равен 60 градусов.
Длина хорды будет равна: l = 2*5*sin(30°) = 2*5*0,5 = 5 см.