График ах2 вх с как найти - Avtoru.top - решение различных проблем

Скачать материал

Сейчас обучается 104 человека из 36 регионов

Сейчас обучается 140 человек из 43 регионов

Сейчас обучается 50 человек из 26 регионов

Краткое описание документа:

В учебнике «Алгебра 9» под редакцией С.А. Теляковского нет заданий на нахождение коэффициентов квадратичной функции с помощью графика параболы, однако такое задание есть в модуле «Алгебра» ОГЭ — 2015 в тренировочных вариантах. Алгоритм нахождения значения коэффициентов a,b, c квадратичной функции позволит ученику научиться определять эти коэффициенты.

I. Нахождение коэффициента a :

1) По графику параболы определяем координаты вершины (m;n).

2) По графику параболы определяем координаты любой точки А (х1;у1).

3) Подставляем эти значения в формулу квадратичной функции, заданной в другом виде:

у=a(х-m)2 +n.

4) Решая полученное уравнение, находим а.

II. нахождение коэффициента b:

1) Сначала находим значение коэффициента a (шаг I, смотри выше).

1) В формулу для абсциссы вершины параболы m= -b/2a подставляем значения m и a.

2) Вычисляем значение коэффициента b.

III. нахождение коэффициента с:

1) Находим ординату у точки пересечения графика параболы с осью Оу, это значение равно коэффициенту с, т.е. точка (0;с) — точка пересечения графика параболы с осью Оу.

Если по графику невозможно найти точку пересечения с осью Оу, то выполняем шаги I, II (находим коэффициенты a, b).

2) Подставляем найденные значения a, b , А(х1 ;у1) в уравнение у=ax2 +bx+c и находим с.

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

6 262 931 материал в базе

Выберите категорию:
Выберите учебник и тему

Выберите класс:
Тип материала:
- Все материалы
- Статьи
- Научные работы
- Видеоуроки
- Презентации
- Конспекты
- Тесты
- Рабочие программы
- Другие методич. материалы

Найти материалы

Другие материалы

07.02.2015
757
2

07.02.2015
911
1

07.02.2015
623
1

07.02.2015
1272
4

07.02.2015
1247
13

07.02.2015
1538
3

Рейтинг:
5 из 5

07.02.2015
3918
71

Источник

Предположим, вам попался график функции (y=ax^2+bx+c) и нужно по этому графику определить коэффициенты (a), (b) и (c). В этой статье я расскажу 3 простых способа сделать это.

1 способ – ищем коэффициенты на графике

Данный способ хорош, когда координаты вершины и точка пересечения параболы с осью (y) – целые числа. Если это не так, советую использовать способ 2.

Коэффициент (a) можно найти с помощью следующих фактов:

— Если (a>0), то ветви параболы направленных вверх, если (a<0), то ветви параболы направлены вниз.

— Если (a>1), то график вытянут вверх в (a) раз по сравнению с «базовым» графиком (у которого (a=1)). Вершина при этом остается на месте. Это наглядно видно по выделенным точкам.

— Аналогично с (a<-1), только график вытянут вниз.

— Если (a∈(0;1)), то график сжат в (a) раз (по сравнению с «базовым» графиком с (a=1)). Вершина при этом остается на месте.

— Аналогично (a∈(-1;0)), только ветви направлены вниз.
Парабола пересекает ось y в точке (c).
(b) напрямую по графику не видно, но его можно посчитать с помощью (x_в) — абсциссы (икса) вершины параболы:

(x_в=-frac{b}{2a})
(b=-x_вcdot 2a)

Пример (ЕГЭ):

Решение:
Во-первых, надо разобраться, где тут (f(x)), а где (g(x)). По коэффициенту (c) видно, что (f(x)) это функция, которая лежит ниже – именно она пересекает ось игрек в точке (4).

Значит нужно найти коэффициенты у параболы, которая лежит повыше.
Коэффициент (c) у неё равен (1).
Ветви параболы направлены вниз – значит (a<0). При этом форма этой параболы стандартная, базовая, значит (a=-1).

Найдем (b). (x_в=-2), (a=-1).

(x_в=-frac{b}{2a})
(-2=-frac{b}{-2})
(b=-4)

Получается (g(x)=-x^2-4x+1). Теперь найдем в каких точках функции пересекаются:

(-x^2-4x+1=-2x^2-2x+4)
(-x^2-4x+1+2x^2+2x-4=0)
(x^2-2x-3=0)
(D=4+4cdot 3=16=4^2)
(x_1=frac{2-4}{2}=-1); (x_2=frac{2+4}{2}=3).

Ответ: (3).

2 способ – находим формулу по точкам

Это самый надежный способ, потому что его можно применить практически в любой ситуации, но и самый не интересный, потому что думать тут особо не надо, только уметь решать системы линейных уравнений. Алгоритм прост:

Ищем 3 точки с целыми координатами, принадлежащие параболе.
Пример:
Выписываем координаты этих точек и подставляем в формулу квадратичной функции: (y=ax^2+bx+c). Получится система с тремя уравнениями.

Пример: (A(-4;5)), (B(-5;5)), (C(-6;3)).

(begin{cases}5=a(-4)^2+b(-4)+c\5=a(-5)^2+b(-5)+c\3=a(-6)^2+b(-6)+c end{cases})
Решаем систему.
Пример:

(begin{cases}5=16a-4b+c\5=25a-5b+c\3=36a-6b+c end{cases})

Вычтем из второго уравнения первое:

(0=9a-b)
(b=9a)

Подставим (9a) вместо (b):

(begin{cases}5=16a-36a+c\5=25a-45a+c\3=36a-54a+c end{cases})
(begin{cases}5=-20a+c\5=-20a+c\3=-18a+c end{cases})

Первое и второе уравнения совпали (это нормально для точек, симметричных относительно прямой проходящей через вершину – как точки (A) и (B) в нашем случае), но нас это не остановит – мы вычтем из второго уравнение третье:

(2=-2a)
(a=-1)

Найдем (b):

(b=-9)

Подставим в первое уравнение (a):

(5=20+c)
(c=-15).

Получается квадратичная функция: (y=-x^2-9x-15).

Пример (ЕГЭ):

Решение:

Сразу заметим, что по графику можно сразу определить, что (c=4). Это сильно облегчит нашу систему – нам хватит 2 точек. Выберем их на параболе: (C(-1;8)), (D(1;2)) (на самом деле, если присмотреться, то можно заметить, что эти точки выделены жирно на изначальной картинке – это вам подсказка от авторов задачи).

Таким образом имеем систему:

(begin{cases}8=a(-1)^2+b(-1)+4\2=a+b+4 end{cases})

(begin{cases}8=a-b+4\2=a+b+4 end{cases})

(begin{cases}4=a-b\-2=a+b end{cases})

Сложим 2 уравнения:

(2=2a)
(a=1)

Подставим во второе уравнение:

(-2=1+b)
(b=-3)

Получается:

(g(x)=x^2-3x+4)

Теперь найдем точки пересечения двух функций:

(-3x+13=x^2-3x+4)
(x^2-9=0)
(x=±3)

Теперь можно найти ординату второй точки пересечения:

(f(-3)=-3cdot (-3)+13)
(f(-3)=9+13)
(f(-3)=22)

Ответ: (22).

3 способ – используем преобразование графиков функций

Этот способ быстрее первого и более универсальный, в частности он может пригодится и в задачах на другие функции.

Главный недостаток этого способа — вершина должна иметь целые координаты.

Сам способ базируется на следующих идеях:

График (y=-x^2) симметричен относительно оси (x) графику (y=x^2).
– Если (a>1) график (y=ax^2) получается растяжением графика (y=x^2) вдоль оси (y) в (a) раз.
– Если (a∈(0;1)) график (y=ax^2) получается сжатием графика (y=x^2) вдоль оси (y) в (a) раз.
– График (y=a(x+d)^2) получается сдвигом графика (y=ax^2) влево на (d) единиц.
— График (y=a(x-d)^2) получается сдвигом графика (y=ax^2) вправо на (d) единиц.
График (y=a(x+d)^2+e) получается переносом графика (y=a(x+d)^2) на (e) единиц вверх.
График (y=a(x+d)^2-e) получается переносом графика (y=a(x+d)^2) на (e) единиц вниз.

У вас наверно остался вопрос — как этим пользоваться? Предположим, мы видим такую параболу:

Сначала смотрим на её форму и направленность её ветвей. Видим, что форма стандартная, базовая и ветви направлены вверх, поэтому (a=1). То есть она получена перемещениями графика базовой параболы (y=x^2).

А как надо было перемещать зеленый график чтоб получить оранжевый? Надо сдвинуться вправо на пять единиц и вниз на (4).

То есть наша функция выглядит так: (y=(x-5)^2-4).
После раскрытия скобок и приведения подобных получаем искомую формулу:

(y=x^2-10x+25-4)
(y=x^2-10x+21)

Готово.

Пример (ЕГЭ):

Чтобы найти (f(6)), надо сначала узнать формулу функции (f(x)). Найдем её:

Парабола растянута на (2) и ветви направлены вниз, поэтому (a=-2). Иными словами, первоначальной, перемещаемой функцией является функция (y=-2x^2).
Парабола смещена на 2 клеточки вправо, поэтому (y=-2(x-2)^2).
Парабола поднята на 4 клеточки вверх, поэтому (y=-2(x-2)^2+4).
Получается (y=-2(x^2-4x+4)+4=)(-2x^2+8x-8+4=-2x^2+8x-4).
(f(6)=-2cdot 6^2+8cdot 6-4=-72+48-4=-28)

Смотрите также:
Как найти k и b по графику линейной функции?

Источник

Как определить a, b и c по графику параболы

1 способ – ищем коэффициенты на графике

Коэффициент (a) можно найти с помощью следующих фактов:

— Если (a>0), то ветви параболы направленных вверх, если (a 1), то график вытянут вверх в (a) раз по сравнению с «базовым» графиком (у которого (a=1)). Вершина при этом остается на месте. Это наглядно видно по выделенным точкам.

Ищем 3 точки с целыми координатами, принадлежащие параболе.
Пример:

Выписываем координаты этих точек и подставляем в формулу квадратичной функции: (y=ax^2+bx+c). Получится система с тремя уравнениями.

Решаем систему.
Пример:

Вычтем из второго уравнения первое:

Подставим (9a) вместо (b):

Первое и второе уравнения совпали (это нормально для точек, симметричных относительно прямой проходящей через вершину – как точки (A) и (B) в нашем случае), но нас это не остановит – мы вычтем из второго уравнение третье:

Подставим в первое уравнение (a):

Получается квадратичная функция: (y=-x^2-9x-15).

Таким образом имеем систему:

Сложим 2 уравнения:

Подставим во второе уравнение:

Теперь найдем точки пересечения двух функций:

Теперь можно найти ординату второй точки пересечения:

3 способ – используем преобразование графиков функций

Главный недостаток этого способа — вершина должна иметь целые координаты.

Сам способ базируется на следующих идеях:

График (y=-x^2) симметричен относительно оси (x) графику (y=x^2).

– Если (a>1) график (y=ax^2) получается растяжением графика (y=x^2) вдоль оси (y) в (a) раз.
– Если (a∈(0;1)) график (y=ax^2) получается сжатием графика (y=x^2) вдоль оси (y) в (a) раз.

– График (y=a(x+d)^2) получается сдвигом графика (y=ax^2) влево на (d) единиц.
— График (y=a(x-d)^2) получается сдвигом графика (y=ax^2) вправо на (d) единиц.

График (y=a(x+d)^2+e) получается переносом графика (y=a(x+d)^2) на (e) единиц вверх.
График (y=a(x+d)^2-e) получается переносом графика (y=a(x+d)^2) на (e) единиц вниз.

У вас наверно остался вопрос — как этим пользоваться? Предположим, мы видим такую параболу:

Чтобы найти (f(6)), надо сначала узнать формулу функции (f(x)). Найдем её:

Парабола растянута на (2) и ветви направлены вниз, поэтому (a=-2). Иными словами, первоначальной, перемещаемой функцией является функция (y=-2x^2).

Парабола смещена на 2 клеточки вправо, поэтому (y=-2(x-2)^2).

Парабола поднята на 4 клеточки вверх, поэтому (y=-2(x-2)^2+4).

Алгоритм нахождения значения коэффициентов a,b, c квадратичной функции

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Рабочие листы и материалы для учителей и воспитателей

Более 2 500 дидактических материалов для школьного и домашнего обучения

I . Нахождение коэффициента a :

1) По графику параболы определяем координаты вершины ( m;n ).

2) По графику параболы определяем координаты любой точки А ( х _1; у ₁ ).

3) Подставляем эти значения в формулу квадратичной функции, заданной в другом виде:

4) Решая полученное уравнение, находим а.

II . нахождение коэффициента b :

Сначала находим значение коэффициента a (шаг I, смотри выше).

В формулу для абсциссы вершины параболы m= -b/2a подставляем значения m и a.

Вычисляем значение коэффициента b .

III. нахождение коэффициента с :

Находим ординату у точки пересечения графика параболы с осью Оу , это значение равно коэффициенту с , т.е. точка (0; с ) — точка пересечения графика параболы с осью Оу .

Если по графику невозможно найти точку пересечения с осью Оу , то выполняем шаги I , II (находим коэффициенты a, b ).

Подставляем найденные значения a, b , А( х ₁ ;у ₁ ) в уравнение у=ax 2 +bx+c и находим с .

Краткое описание документа:

I . Нахождение коэффициента a :

1) По графику параболы определяем координаты вершины (m;n).

2) По графику параболы определяем координаты любой точки А (х1;у1).

3) Подставляем эти значения в формулу квадратичной функции, заданной в другом виде:

4) Решая полученное уравнение, находим а.

II . нахождение коэффициента b:

1) Сначала находим значение коэффициента a (шаг I, смотри выше).

1) В формулу для абсциссы вершины параболы m= -b/2a подставляем значения m и a.

2) Вычисляем значение коэффициента b.

III. нахождение коэффициента с:

Если по графику невозможно найти точку пересечения с осью Оу, то выполняем шаги I, II (находим коэффициенты a, b).

2) Подставляем найденные значения a, b , А(х1 ;у1) в уравнение у=ax2 +bx+c и находим с.

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

Сейчас обучается 703 человека из 76 регионов

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

Сейчас обучается 857 человек из 77 регионов

Курс повышения квалификации

Педагогическая деятельность в контексте профессионального стандарта педагога и ФГОС

Сейчас обучается 48 человек из 21 региона

«Мотивация здорового образа жизни. Организация секций»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Для всех учеников 1-11 классов
и дошкольников
Интересные задания
по 16 предметам

«Как закрыть гештальт: практики и упражнения»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Дистанционные курсы для педагогов

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 846 424 материала в базе

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Другие материалы

07.02.2015
688
0

07.02.2015
826
1

07.02.2015
575
1

07.02.2015
1220
4

07.02.2015
1128
10

07.02.2015
1385
3

07.02.2015
3686
69

«Учись, играя: эффективное обучение иностранным языкам дошкольников»

Свидетельство и скидка на обучение
каждому участнику

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

07.02.2015 80756
DOCX 58.9 кбайт
348 скачиваний
Рейтинг: 4 из 5
Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Копташкина Альбина Ивановна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

На сайте: 7 лет и 6 месяцев
Подписчики: 1
Всего просмотров: 85342
Всего материалов: 5

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

С 1 сентября в российских школах будут исполнять гимн России

Время чтения: 1 минута

В России выросло число детей с ОВЗ, поступающих в колледжи

Время чтения: 1 минута

Минпросвещения рекомендует школьникам сдавать телефоны перед входом в школу

Время чтения: 1 минута

Российские школьники начнут изучать историю с первого класса

Время чтения: 1 минута

Роспотребнадзор сообщил об опасности размещения вышек сотовой связи на территории школ

Время чтения: 1 минута

Путин объявил 2022-2031 годы Десятилетием науки и технологий

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Квадратные уравнения. Углубленное изучение свойств квадратных уравнений

Разделы: Математика

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний, углубленное изучение свойств квадратных уравнений.

Образовательные цели урока: обеспечить закрепление теоремы Виета, обратить внимание учащихся на решение квадратных уравнений ах 2 + вх + с = 0, в которых а+в+с=0; привить навыки устного решения таких уравнений.

Воспитательные цели урока: способствовать выработке у школьников желания и потребности обобщения изучаемых фактов, развивать самостоятельность и творчество.

Ход урока

1. Организационный момент.

Учащимся сообщаются задачи урока:

Контроль знаний с помощью тестирования (тест на заполнение пропусков, чтобы получилось верное определение, формулировка, правило)
Решение задач на применение прямой и обратной теорем Виета.
Изучение нового свойства квадратных уравнений.

2. Повторение пройденного материала.

1) Решить уравнение (работа у доски): 7х 2 — 9х + 2 =0

Решение: D = в 2 – 4ас, D = 25, х₁ = , х₂ = 1. Ответ: х₁ = , х₂ = 1.

2) Тест “ Квадратные уравнения”:

Вариант 1

. уравнением называется уравнение ах 2 + вх + с = 0, где а,в,с – заданные числа, а 0, х – переменная.
Уравнение х 2 = а, где а > 0, имеет корни х₁ = . ; х₂ = .
Уравнение ах 2 = 0, где а 0, называется . .
Уравнение ах 2 + вх + с = 0, где а 0, в 0, называется . квадратным уравнением.
Если ах 2 + вх + с = 0 — квадратное уравнение (а 0), то “в” называют . коэффициентом.
Корни квадратного уравнения ах 2 + вх + с = 0 вычисляют по формуле х = . .
Приведенное квадратное уравнение х 2 + рх + q = 0 совпадает с уравнением общего вида, в котором а = . в = . с = . .
Если х₁ и х₂ — корни уравнения х 2 + рх + q = 0, то справедливы формулы х₁ + х₂ =. ; х₁ * х₂ = .

Вариант 2

Если ах 2 + вх + с = 0 — квадратное уравнение, то а называют . коэффициентом, с — . членом.
Уравнение х 2 = а, где а 2 + с = 0, где а 0, с 0, называется . квадратным уравнением.
Корни квадратного уравнения ах 2 + вх + с = 0 вычисляют по формуле х₁ = . ; х₂ = . .
Квадратное уравнение ах 2 + вх + с = 0 имеет два различных действительных корня, если в 2 – 4ас . 0.
Квадратное уравнение вида х 2 + рх + q = 0 называют . .
Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна . коэффициенту, взятому с . знаком, а произведение корней равно . числу.
Если числа p, q, х_1, х ₂ таковы, что х₁ + х₂ = — Р; х₁ * х₂ = . то х₁ и х₂ — корни уравнения.

3. Задание на определение вида уравнения (устно).

— Ребята, здесь вы видите уравнения, определенные по какому-то признаку. Как вы думаете, какое из уравнений этой группы является лишним?

источники:

http://infourok.ru/algoritm_nahozhdeniya_znacheniya_koefficientov_ab_c_kvadratichnoy_funkcii-371015.htm

http://urok.1sept.ru/articles/658252

Источник

График функции y = ax²
График функции y = ax²+c
График функции y = a(x+d)²
График квадратного трёхчлена y = ax²+bx+c
Общий алгоритм построения параболы y = ax²+bx+c
Примеры

График функции y = ax²

Начертим на одном чертеже два графика:

$$ y = x^2, y = -x^2 $$

График с «минусом» — это та же парабола, только направленная ветками вниз, с вершиной в начале координат.

Обе параболы взаимно симметричны относительно оси OX.

Начертим на одном чертеже три графика:

$$ y = x^2, y = 2x^2, y = frac{1}{2} x^2 $$

Свойства графика y = ax²

1. При любом a графиком функции $y = ax^2$ является парабола, с осью симметрии OY.

2. Если $a gt 0$, ветки параболы $y = ax^2$ направлены вверх, точка минимума находится в начале координат; при $x lt 0$ функция убывает, при $x gt 0$ функция возрастает.

Если $a lt 0$, ветки параболы $y = ax^2$ направлены вниз, точка максимума находится в начале координат; при $x lt 0$ функция возрастает, при $x gt 0$ функция убывает.

3. Если $a gt 1$, парабола $y = ax^2$ быстрее уходит на бесконечность, чем $y = x^2$, её ветки расположены ближе к оси Y. Чем больше параметр a, тем больше сужаются ветки.

Если $0 lt a lt 1$, парабола $y = ax^2$ медленней уходит на бесконечность, чем $y=x^2$, её ветки расположены дальше от оси Y. Чем меньше параметр a, тем больше расходятся ветки от оси OY.

4. Для отрицательных значений $a lt 0$ ветки сужаются или расходятся аналогично.

График функции y = ax²+c

Начертим на одном чертеже три графика:

$$ y = x^2, y = x^2+2, y = x^2-2 $$

Прибавление двойки поднимает каждую точку исходного графика $y = x^2$ на 2 единицы вверх.

Вычитание двойки – опускает каждую точку на 2 единицы вниз.

Координаты вершины параболы $y = ax^2+c$ в общем случае: (0;c)

Свойства графика y = ax²+c

График $y = ax^2+c$ наследует все свойства графика y=ax² с той разницей, что вершина параболы теперь находится не в начале координат, а в точке (0;c) на оси OY.

График функции y = a(x+d)²

Начертим на одном чертеже три графика: $y = x^2, y = (x+2)^2, y = (x-2)^2$

Прибавление двойки перед возведением в квадрат сдвигает исходный график $y = x^2$ на две единицы влево. Вычитание двойки – на две единицы вправо.

В общем случае у параболы $y = a(x+d)^2$ координаты вершины (–d;0).

Свойства графика y = a(x+d)²

График $y = a(x+d)^2$ наследует все свойства графика $y = ax^2$ с той разницей, что вершина параболы теперь находится не в начале координат, а в точке (-d;0) на оси OX.

График квадратного трёхчлена y = ax²+bx+c

Чтобы проследить перемещение вершины графика $y = ax^2+bx+c$ по сравнению с параболой $y = ax^2$, перепишем квадратный трёхчлен в таком виде:

$$ ax^2+bx+c = frac{4a(ax^2+bx+c)}{4a} = frac{4a^2 x^2+4abx+4ac}{4a} = $$

$$ = frac{(4a^2 x^2+4abx+b^2 )- b^2+4ac}{4a} = frac{(2ax+b)^2}{4a} — frac{b^2-4ac}{4a} = $$

$$ = frac{(2a(x+b/2a) )^2}{4a} — frac{b^2-4ac}{4a} = frac{4a^2 (x+ frac{b}{2a})^2}{4a} — frac{b^2-4ac}{4a} = $$

$$ = a(x+ frac{b}{2a})^2 — frac{b^2-4ac}{4a}$$

Учитывая, что $D = b^2-4ac$, получаем:

$$ ax^2+bx+c=a(x+frac{b}{2a})^2-frac{D}{4a} $$

Разберём полученный результат.

Как мы уже знаем, параметр a отвечает за направление веток параболы ($a gt 0$ — ветки вверх, $a lt 0$ – ветки вниз). Также, параметр a отвечает за сужение или расширение параболы ($|a| gt 1$ — парабола сужается, $|a| lt 1$ — парабола расширяется).

Слагаемое $ frac{b}{2a}$ в скобке $left(frac{x+b}{2a} right)^2$ сдвигает вершину параболы влево.

Слагаемое $(-frac{D}{4a})$ опускает вершину параболы вниз.

График квадратного трёхчлена $ y = ax^2+bx+c$ — это парабола с вершиной в точке:

$$ left(- frac{b}{2a}; -frac{D}{4a} right) $$

Если $a gt 0$, то ветви параболы направлены вверх, и в вершине – минимум.

Если $a lt 0$, то ветви параболы направлены вниз, и в вершине – максимум.

Ось симметрии параболы: $x = -frac{b}{2a}$ – прямая, параллельная оси OY.

Например:

Построим график $y = x^2+4x-1$ по точкам:

Параметры параболы a = 1, b = 4, c = -1

Проверим формулу для координат вершины:

$$ -frac{b}{2a} = — frac{4}{2 cdot 1} = -2, — frac{b^2-4ac}{4a} = — frac{4^2-4 cdot 1 cdot (-1)}{4 cdot 1} = -5 $$

Ось симметрии: $ x = -frac{b}{2a} = -2$

$a = 1 gt 0$ — у нас парабола ветками вверх. С минимумом в вершине (-2;-5)

Все практические результаты согласуются с теоретическими.

Поэтому, кроме элементарного построения параболы $y = ax^2+bx+c$ по точкам, предлагается следующий общий алгоритм.

Общий алгоритм построения параболы y=ax²+bx+c

1. Построить ось симметрии $x = -frac{b}{2a}$, проходящую через точку $left(-frac{b}{2a};0right)$ параллельно оси OY.

2. Найти дискриминант $D = b^2-4ac$. По его знаку определить количество точек пересечения параболы с осью OX.

3. Отметить на оси симметрии точку $left(-frac{b}{2a};-frac{D}{4a} right)$ — это вершина параболы.

4. По знаку a определить направление ветвей параболы.

5. Отметить точку (0;c) пересечения параболы с осью OY.

6. Отметить точку $left(–frac{b}{a}, c right)$, симметричную точке (0;c) относительно оси симметрии.

7. Если необходимо, используя симметрию, отметить ещё несколько вспомогательных точек.

Например: если $D gt 0$, можно отметить две точки $x_1,2 = frac{-b pm sqrt{D}}{2a}$ на оси OX, они будут симметричны относительно оси симметрии.

8. Соединить полученные точки кривой.

Примеры

Пример 1. Решите уравнения графически:

а)

$x^2+3x+2 = 0$

$x^2 = -3x-2$

Чертим два графика

$y = x^2, y = -3x-2$

Ответ: $x_1 = -2, x_2 = -1$

б)

$x^2+3x+2 = — frac{6}{x}$

Чертим два графика

$y = x^2+3x+2$

$ y = -frac{6}{x}$

Ответ: x = -3

в)

$x^2+3x = |x|$

Чертим два графика

$y = x^2+3x$

$ y = |x| $

Ответ: $x_1 = -4, x_2 = 0$

г)

$x^2-3,5x = sqrt{x}$

Чертим два графика

$y = x^2-3,5x$

$ y = sqrt{x} $

Ответ: $x_1 = 0, x_2 = 4$

Пример 2. Параболе принадлежат три точки: A(0;2),B(2;-2),C(5;7).

Найдите уравнение параболы.

Пусть уравнение параболы $y = ax^2+bx+c$

По условию:

$$ {left{ begin{array}{c} a cdot 0^2+b cdot 0+c = 2 \ a cdot 2^2+ b cdot 2+c = -2 \ a cdot 5^2+ b cdot 5+c = 7 end{array} right.} Rightarrow {left{ begin{array}{c} c = 2 \ 4a+2b+c = -2 \ 25a+5b+c = 7 end{array} right.} Rightarrow {left{ begin{array}{c} c = 2 \ 4a+2b = -4 \ 25a+5b = 5 end{array} right.} Rightarrow $$

$$ Rightarrow {left{ begin{array}{c} c = 2 \ 2a+b = -2 \ 5a+b = 1 end{array} right.} Rightarrow {left{ begin{array}{c} c = 2 \ 3a = 3 \ b = 1-5a end{array} right.} Rightarrow {left{ begin{array}{c} a = 1 \ b = -4 \ c = 2 end{array} right.}$$

Искомое уравнение:

$$y = x^2-4x+2$$

Источник

Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 8 класс>>Математика:Функция у = ах2 + bх + с, ее свойства и график

Функция у = ах2 + bх + с, ее свойства и график

Рассмотрим многочлен ах² + bх + с, где а, b, с — числа (коэффициенты), причем а . Его обычно называют квадратным трехчленом; при этом одночлен ах² называют старшим членом квадратного трехчлена, а коэффициент а — старшим коэффициентом.

Функцию у = ах² + bх + с, где а, b, с — произвольные числа, причем а , называют квадратичной функцией. Это название можно объяснить тем, что старший член трехчлена ах² +bх + с содержит х в квадрате.

Опираясь на результаты, полученные выше, мы с вами сможем построить график любой квадратичной функции. Один такой график мы построили в конце предыдущего параграфа, воспользовавшись методом выделения полного квадрата. Рассмотрим еще один пример.

Пример 1. Построить график функции у = — bх² — 6х + 1.

Решение. Выделим полный квадрат в квадратном трехчлене -bх² — 6х + 1. Имеем
-Зх² — вх + 1 = -3(х² + 2х) + 1 = -3((х² + 2х + 1) — 1) + 1 = — 3 ((x + I)² — 1) + 1 = — 3 (х + I)² + 3 + 1 = — 3 (х + I)² + 4.

Для построения графика функции у = -3(х + I)² + 4 перейдем к вспомогательной системе координат с началом в точке (-1; 4) (пунктирные прямые х = -1 и у = 4 на рис. 61).

Привяжем функцию у = — Зх² к новой системе координат.

С этой целью выберем контрольные точки для функции у = — Зх², например: (0; 0), (1; -3), (-1; -3), (2; -12), (-2; -12), но строить их будем не в старой, а в новой системе координат (эти точки отмечены на рис. 61). По этим точкам построим параболу — получим требуемый график (рис. 62).

Итак, применив метод выделения полного квадрата, мы преобразовали квадратный трехчлен к виду а(х + I)² + m и использовали алгоритм 2 из §12 (заметим, что с равным успехом мы могли бы использовать и алгоритм 1 — кому что нравится). Оказалось что графиком функции у = -Зх²— 6x = 1 является парабола которая получается из параболы у = -Зх² параллельным переносом А в конце предыдущего параграфа мы установили, что графиком функции у = х² — 4x+ 5 так же является парабола; она получается из параболы у = х² параллельным переносом. Оказывается график любой квадратичной функции у = ах2+ bх + с можно получить из параболы у = ах²параллельным переносом, причем для доказательства этого факта используется та же идея — выделение полного квадрата.

Доказательство. Воспользуемся методом выделения полного квадрата. Имеем

Итак, нам удалось преобразовать квадратный трехчлен ах² + bх + с к виду а(х + I)² + m, где

Чтобы построить график функции у = а(х + I)² + m, нужно выполнить параллельный перенос параболы у = ах2 так, чтобы вершина параболы оказалась в точке (-l; m) (рис. 63). Теорема доказана.

Обратите внимание на следующее важное обстоятельство: из проведенного доказательства следует, что вершиной параболы у = ах² + bх + с служит точка (-l; m). Осью параболы является прямая х = -l, т. е.
Итак, осью параболы у = ах² + bх + с служит прямая ; абсцисса х₀ вершины параболы у = ах² + bх + с вычисляется по формуле

Формулу для ординаты вершины параболы запоминать не нужно (речь идет о формуле у₀ = m, т.е.

Во-первых, она довольно громоздкая, а во-вторых, если известна абсцисса х₀, то ординату у₀ всегда можно вычислить по формуле
y₀= f(х₀ ), где f(х) =ax² + bx = c,

Пример 2. Не выполняя построения графика функции y = — 3x² — 6 = 1 ответить на следующие вопросы:

а) Какая прямая служит осью параболы?

б) Каковы координаты вершины параболы?

в) Куда (вверх или вниз) направлены ветви параболы?

Решение, а) Здесь а = — 3, b = — 6. Уравнение оси параболы
б) Абсцисса х₀ вершины параболы нам уже известна: х₀ = — 1. Ординату у₀ найдем по формуле у₀ = f(x₀), где f(x) = -bх² — 6х + 1.
Имеем
У_о = f(x_о) = f(- 1) = — 3(- I)² — 6(- 1) + 1 = 4.
Итак, вершиной параболы служит точка (- 1; 4).

в) Парабола у = — 3х² — 6х + 1 получается параллельным переносом параболы у = -Зх². Ветви параболы у = -Зх² направлены вниз (поскольку коэффициент при х² отрицателен), значит, и у параболы у = — Зх² — 6х + 1 ветви направлены вниз.

Замечание. Сравните примеры 1 и 2. Речь в них идет об одной и той же параболе, но в примере 1 мы ее построили, а в примере 2 строить параболу было не нужно. Проверьте по рис. 62 правильность ответов на вопросы примера 2. Для любой функции вида у = ах² + bх + с можно ответить на поставленные в примере 2 вопросы, не строя параболу — график функции. Легче всего ответить на вопрос, куда направлены ветви параболы:

ветви параболы у = ах² + bх + с направлены вверх, если а > 0, и вниз, если а < 0.

Несколько сложнее найти уравнение оси параболы: (сложнее, поскольку приходится немного посчитать). И еще сложнее (требуется больше вычислений) находятся координаты вершины параболы: абсциссой является число а ордината у₀ вычисляется по формуле у₀ = f(x₀), где f(x) = ах² + bх + с, 4ас-b²
или по формуле
ПримерЗ. Построить график функции у = 2х² — 6х + 1.

Решение. Графиком функции является парабола с ветвями, направленными вверх, поскольку старший коэффициент 2 — положительное число. Найдем координаты вершины параболы.

Имеем а = 2, b = -6;

y₀ =f(x₀) = f (1,5), где f(x) = 2х² -6х + 1. Значит, у₀ = f(1,5) = 2 • 1,5² — 6 • 1,5 + 1 = -3,5.

На рис. 64 отмечена точка (1,5; — 3,5) — вершина искомой параболы, проведена ось параболы. Чтобы построить саму параболу, поступим так: возьмем на оси х две точки, симметричные относительно оси параболы, например точки х = 0 и х = 3; вычислим значения функции в этих точках, учтя, что f (0) =f(3). Имеем f(0) = 1, значит, и f(3) = 1. Точки (0; 1) и (3; 1) отмечены на рис. 64. А теперь, зная три точки, построим искомую параболу (рис. 65)

Фактически мы получили алгоритм построения графика квадратичной функции. Оформим его.

Алгоритм построения параболы у = ах2 + bх + с

1. Найти координаты вершины параболы, построить на координатной плоскости соответствующую точку, провести ось параболы.

2. Отметить на оси х две точки, симметричные относительно оси параболы (чаще всего в качестве одной из таких точек берут точку х = 0), найти значения функции в этих точках; построить на координатной плоскости соответствующие точки.

3. Через полученные три точки провести параболу (в случае необходимости берут еще пару точек, симметричных относительно оси параболы, и строят параболу по пяти точкам).

Пример 4. Найти наименьшее и наибольшее значения функции у = — 2х² + 8x — 5 на отрезке [0, 3].

Решение.

Первый этап. Построим параболу, служащую графиком заданной функции. Воспользуемся алгоритмом.
1) Имеем

Значит, вершиной параболы служит точка (2; 3), а осью параболы — прямая х = 2 (рис. 66).

2) Возьмем на оси х две точки, симметричные относительно оси параболы, например точки х = 0 и х = 4. Имеем f(0) =f(4) = = -5; построим на координатной плоскости точки (0; — 5) и (4; — 5) (рис. 66).

3) Через точки (2; 3), (0; -5), (4; -5) проводим параболу (рис. 67).

Второй этап. Выделим часть построенного графика на отрезке [0, 3]. Замечаем (см. выделенную часть параболы на рис. 67), что у_наим. = — 5 (достигается при х = 0), а y_наиб. = 3 (достигается при х = 2).

Мордкович А. Г., Алгебра. 8 кл.: Учеб. для общеобразоват. учреждений.— 3-е изд., доработ. — М.: Мнемозина, 2001. — 223 с: ил.

_{Книги и учебники согласно календарному плануванння по математике 8 класса скачать, помощь школьнику онлайн}

Содержание урока
 конспект урока                       
 опорный каркас  
 презентация урока
 акселеративные методы 
 интерактивные технологии 

Практика
 задачи и упражнения 
 самопроверка
 практикумы, тренинги, кейсы, квесты
 домашние задания
 дискуссионные вопросы
 риторические вопросы от учеников

Иллюстрации
 аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
 фотографии, картинки 
 графики, таблицы, схемы
 юмор, анекдоты, приколы, комиксы
 притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
 рефераты
 статьи 
 фишки для любознательных 
 шпаргалки 
 учебники основные и дополнительные
 словарь терминов                          
 прочие 

Совершенствование учебников и уроков
 исправление ошибок в учебнике
 обновление фрагмента в учебнике 
 элементы новаторства на уроке 
 замена устаревших знаний новыми 

Только для учителей
 идеальные уроки 
 календарный план на год  
 методические рекомендации  
 программы
 обсуждения


Интегрированные уроки

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь — Образовательный форум.

При использовании материалов ресурса
ссылка на edufuture.biz обязательна (для интернет ресурсов —
гиперссылка).
edufuture.biz 2008-© Все права защищены.
Сайт edufuture.biz является порталом, в котором не предусмотрены темы политики, наркомании, алкоголизма, курения и других «взрослых» тем.

Разработка — Гипермаркет знаний 2008-

Ждем Ваши замечания и предложения на email:
По вопросам рекламы и спонсорства пишите на email:

Источник

Краткое описание документа:

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

Другие материалы

1 способ – ищем коэффициенты на графике

2 способ – находим формулу по точкам

3 способ – используем преобразование графиков функций

Как определить a, b и c по графику параболы

1 способ – ищем коэффициенты на графике

3 способ – используем преобразование графиков функций

Алгоритм нахождения значения коэффициентов a,b, c квадратичной функции

Краткое описание документа:

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

Педагогическая деятельность в контексте профессионального стандарта педагога и ФГОС

Дистанционные курсы для педагогов

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

Другие материалы

Оставьте свой комментарий

Автор материала

Дистанционные курсы для педагогов

Подарочные сертификаты

Квадратные уравнения. Углубленное изучение свойств квадратных уравнений

График функции y = ax²

График функции y = ax²+c

График функции y = a(x+d)²

График квадратного трёхчлена y = ax²+bx+c

Общий алгоритм построения параболы y=ax²+bx+c

Примеры

Не пропустите также:

Дистанционные курсы
для педагогов