Геометрия как найти площадь окружности - Avtoru.top

Загрузить PDF

Некоторые учащиеся не понимают, как найти площадь круга по исходным данным. Для начала нужно запомнить формулу, по которой вычисляется площадь круга: $S=pi r^{2}$ . Формула проста: чтобы найти площадь круга, нужно знать только его радиус. Но нужно уметь преобразовывать другие исходные величины, чтобы воспользоваться этой формулой.

1
Найдите радиус круга. Радиус – это отрезок, соединяющий центр круга с любой точкой внешней окружности круга. Радиус можно измерить в любом направлении: он будет одним и тем же. Радиус также равен половине диаметра круга. Диаметр – это отрезок, который проходит через центр круга и соединяет две точки внешней окружности круга.^[1]
- Как правило, значение радиуса дано в условиях задачи. Довольно трудно найти точный центр круга, если только он не обозначен на круге, который нарисован на бумаге.
- Например, радиус круга равен 6 см.
2

Возведите радиус в квадрат. Формула для вычисления площади круга: $S=pi r^{2}$ , где – радиус, который возведен во вторую степень (в квадрат).^[2]
3
Полученный результат умножьте на число Пи. Это число обозначается греческой буквой и представляет собой математическую константу, которая характеризует взаимосвязь радиуса и площади круга. Число Пи приблизительно равно 3,14. Точное значение числа Пи включает бесконечное количество цифр. Иногда ответ (площадь круга) записывается с постоянной .^[3]
- В нашем примере (r = 6 см) площадь вычисляется так:
4
Запишите ответ. Помните, что площадь измеряется в квадратных единицах. Если радиус дан в сантиметрах, площадь измеряется в квадратных сантиметрах. Если радиус дан в миллиметрах, площадь измеряется в квадратных миллиметрах. Уточните у преподавателя, нужно ли представить ответ с постоянной или в числовой форме, используя приблизительное значение числа Пи. Если требование не ясно, запишите оба варианта ответа.^[4]
- В нашем примере (r = 6 см) S = 36 см² или S = 113,04 см².
Реклама

1
Измерьте или запишите диаметр. В некоторых задачах радиус не дан. Вместо радиуса указывается диаметр. Если диаметр нарисован на бумаге, измерьте его с помощью линейки. Скорее всего, числовое значение диаметра будет задано.
- Например, диаметр круга равен 20 мм.
2
Разделите диаметр пополам. Помните, что диаметр равен удвоенному радиусу. Поэтому разделите любое значение диаметра на 2, чтобы найти радиус.
- Таким образом, если диаметр круга равен 20 мм, то радиус круга равен 20/2 = 10 мм.
3

Воспользуйтесь стандартной формулой для вычисления площади круга. Найдя радиус, воспользуйтесь формулой $S=pi r^{2}$ , чтобы вычислить площадь круга. Подставьте значение радиуса и выполните вычисления следующим образом:
4
Запишите ответ. Помните, что площадь измеряется в квадратных единицах. В нашем примере диаметр дан в миллиметрах, поэтому радиус тоже измеряется в миллиметрах, а площадь в квадратных миллиметрах. В нашем примере S = мм².
- Также ответ можно представить в численной форме, используя вместо приблизительное значение 3,14. В этом случае S = (100)(3,14) = 314 мм².
Реклама

1
Запишите преобразованную формулу. Если известна длина окружности круга, можно воспользоваться преобразованной формулой для вычисления его площади. Такая формула включает длину окружности, а не радиус, и записывается так:
- $S={frac {C^{2}}{4pi }}$
2
Измерьте или запишите длину окружности. В некоторых ситуациях нельзя точно измерить диаметр или радиус. Если диаметр не нарисован или центр не отмечен, очень сложно найти точный центр круга. Длину окружности некоторых предметов (например, сковороды) довольно легко измерить с помощью рулетки, то есть можно найти более точное значение длины окружности, чем диаметра.^[5]
- Например, длина окружности круга (или круглого предмета) равна 42 см.
3
4

Запишите формулу для вычисления площади круга. Запишите преобразованную формулу на основе соотношения между длиной окружности и радиусом. Подставьте последнее равенство в стандартную формулу для вычисления площади круга:^[7]
5

Воспользуйтесь преобразованной формулой, чтобы решить задачу. Теперь в формуле вместо радиуса присутствует длина окружности, поэтому можно вычислить площадь круга по известной длине окружности. Подставьте значение длины окружности и выполните вычисления следующим образом:^[8]
6

Запишите ответ. Если длина окружности дана в виде числа, а не произведения числа и , ответ можно записать с в знаменателе. Или вместо числа Пи подставьте его приблизительное значение (3,14).^[9]

Реклама

1

Запишите известные величины. В некоторых задачах дана площадь сектора круга, по которой нужно найти площадь всего круга. Внимательно прочитайте такую задачу; ее условие может выглядеть так: «Площадь сектора круга равна 15 см². Найдите площадь всего круга».^[10]
2

Запомните определение сектора. Сектор круга – это часть круга, которая ограничена дугой и двумя радиусами. Пространство между такими радиусами и дугой называется сектором.^[11]
3
Измерьте центральный угол сектора. Воспользуйтесь транспортиром, чтобы измерить угол между двумя радиусами. Линейку (прямолинейную шкалу) совместите с одним из радиусов, причем центр линейки должен совпадать с центром круга. Затем найдите величину угла; для этого посмотрите на точку пересечения второго радиуса с угломерной шкалой.^[12]
- Не перепутайте внутренний и внешний угол между двумя радиусами. В задаче должно быть указано, с каким углом работать. Помните, что сумма внутреннего и внешнего углов равна 360 градусов.
- Во многих задачах центральный угол дан, то есть измерять его не нужно. Например, в задаче может быть сказано: «Центральный угол сектора равен 45 градусов»; если это не так, измерьте центральный угол.
4
Используйте преобразованную формулу для вычисления площади круга. Если известны площадь сектора и его центральный угол, используйте следующую преобразованную формулу, чтобы найти площадь круга: ^[13]
- $S_{{kr}}=S_{{sek}}{frac {360}{C}}$
5

Подставьте известные значения и найдите площадь круга. В нашем примере известно, что центральный угол равен 45 градусов, а площадь сектора равна 15. Подставьте эти значения в формулу:^[14]
6
Запишите ответ. В нашем примере сектор составлял одну восьмую полного круга. Поэтому площадь полного круга равна 120 см². Так как площадь сектора дана с постоянной , скорее всего, ответ тоже можно представить с этой постоянной.^[15]
- Чтобы записать ответ в численной форме, умножьте 120 x 3,14 = 376,8 см².
Реклама

Об этой статье

Эту страницу просматривали 266 138 раз.

Была ли эта статья полезной?

Источник

Определение окружности

Окружность – это замкнутая линия, причем расстояние от любой точки, находящейся на этой линии, до центра окружности одинаково. Кругом является внутренняя часть окружности.

Онлайн-калькулятор площади круга

Тот самый отрезок, который соединяет выбранную точку на окружности с ее центром, называется радиусом RR.
Длина радиуса, взятая в двойном размере, называется диаметром окружности DD.

То есть D=2RD=2R.

Как найти площадь круга

Площадь круга можно найти двумя способами:

используя радиус круга,
используя диаметр круга.

Остановимся чуть подробнее на каждом способе и рассмотрим несколько примеров.

Формула площади круга через радиус круга

Сначала разберем общий случай.

Пусть нам дана окружность OO произвольного радиуса R.R. Площадь круга через радиус вычисляется при помощи формулы

S=πR2S=pi R^2,

где πpi – число «Пи», выражающее отношение длины окружности к ее диаметру и численно равное около 3,143,14,

RR – радиус нашей окружности.

Теперь, чтобы было более понятно, рассмотрим пару практических примеров.

Пример

Найдите площадь круга, радиус которого равен 6 см.
Ответ дайте, округленный до целого числа.

Решение:

Пользуемся нашей формулой для вычисления площади круга и получаем:

S=πR2=3,14⋅6⋅6=3,14⋅36=113.S=pi R^2=3,14cdot 6 cdot 6=3,14 cdot 36=113.

Ответ: 113 см².

Формула площади круга через диаметр

Рассмотрим сначала обобщенный случай без использования цифр.

Формула вычисления площади круга с помощью диаметра немного отличается от формулы, в которой мы использовали радиус. Но ответ остается, безусловно, таким же.

Итак, наша формула выглядит следующим образом:

S=πD24S=pi frac{D^2}{4}

Давайте разберемся, откуда она вообще взялась.

Для начала выразим радиус через диаметр. Получаем R=D2R=frac{D}{2}, затем подставляем полученное выражение в нашу исходную формулу S=πR2S=pi R^2 и получаем результат: S=πD222S=pi frac{D^2}{2^2}, далее упрощаем и выходим на окончательный ответ S=πD24S=pi frac{D^2}{4}.

Пример

Найти площадь круга, если известно, что четвертая часть диаметра равна 2,5 см.

Решение:

Находим диаметр:

D4=2,5.frac{D}{4} =2,5.

Отсюда,

D=2,5⋅4=10.D=2,5 cdot 4=10.

Подставляем значения в формулу:

S=πD24=3,14⋅1024=3,14⋅1004=3,14⋅25=78,5S=pi frac{D^2}{4} =3,14 cdot frac{10^2}{4} =3,14 cdot frac{100}{4} =3,14 cdot 25=78,5

Ответ: 78,5 см².

Пример решения задачи посложнее.

Пример

Имеется два круга. Площадь первого 153,86153,86 см². Найдите площадь второго круга, радиус которого в 22 раза больше радиуса первого круга.

Решение:
Для решения задачи нам в первую очередь нужно найти радиус первого круга. Из формулы S=πR2S=pi R^2 находим, что R=SπR=sqrt{frac{S}{pi}}.

R=153.863.14=49=7.R=sqrt{frac{153.86}{3.14}}=sqrt{49} = 7.

Радиус второго круга равен 7⋅2=14.7 cdot 2=14.

Наконец, найдем площадь этого круга: S=πR2=3.14⋅142=3,14⋅196=615,44.S=pi R^2=3.14cdot14^2=3,14 cdot 196=615,44.

Ответ: 615,44615,44 см².

Ищете специалиста, который сможет написать контрольную работу на заказ для вас? Наши эксперты подбирают индивидуальный подход к каждому клиенту!

Тест по теме “Площадь круга”

Источник

{S = pi r^2}

Здесь вы можете рассчитать площадь круга по известным параметрам. Для вычисления достаточно знать радиус, диаметр круга или длину его окружности.

Содержание:

калькулятор площади круга
отличие окружности от круга
формула площади круга через радиус
формула площади круга через диаметр
формула площади круга через длину окружности
примеры задач

Окружность и круг — в чём отличие?

Часто понятия круг и окружность путают, хотя это разные вещи.

Окружность — это замкнутая линия, а круг — это плоская фигура, ограниченная окружностью. Таким образом, гимнастический обруч или колечко — это окружности, а монета или вкусный блин — это круги.

Круг — бесконечное множество точек на плоскости, которые удалены от заданной точки, называемой центром круга, на значение, не превышающее заданного неотрицательного числа, называемого радиусом этого круга.

Формула площади круга через радиус

S = pi r^2

r — радиус круга

Формула площади круга через диаметр

S = pi dfrac{d^2}{4}

d — диаметр круга

Формула площади круга через длину окружности

S = dfrac{L^2}{4pi}

L — длина окружности

Примеры задач на нахождение площади круга

Задача 1

Найдите площадь круга, радиус которого равен 4 см.

Решение

Для решения задачи воспользуемся формулой площади круга через радиус.

S = pi r^2 = pi cdot 4^2 = 16 pi : см^2 approx 50.26548 : см^2

Ответ: 16 pi : см^2 approx 50.26548 : см^2

Полученный ответ удобно проверить с помощью калькулятора .

Задача 2

Найдите площадь круга, радиус которого равен 7 см.

Решение

Задача похожа на предыдущую, поэтому решение будет выглядеть аналогично.

S = pi r^2 = pi cdot 7^2 = 49 pi : см^2 approx 153.93804 : см^2

Ответ: 49 pi : см^2 approx 153.93804 : см^2

Проверим ответ на калькуляторе .

Задача 3

Найдите площадь круга, радиус которого равен 9 см.

Решение

Еще одна типовая задача.

S = pi r^2 = pi cdot 9^2 = 81 pi : см^2 approx 254.469 : см^2

Ответ: 81 pi : см^2 approx 254.469 : см^2

Проверим ответ на калькуляторе .

Источник

Для всех окружностей справедливо, что отношение длины окружности к её диаметру есть одно и то же число.

Это число принято обозначать греческой буквой

(«пи»). У этого числа за запятой бесконечное множество цифр, порядок которых не повторяется.

Такие числа называются иррациональными.

π≈3,14159265358979…

В наше время, когда вычислительные технологии очень развиты, можно вычислить очень много значащих цифр. Сколько цифр использовать в расчётах, нужно решать в зависимости от того, какая точность необходима. Иногда используется даже округление до целых

π≈3

, но чаще всего используется

π≈3,14

Интересно, что в марте (3 месяц) 14-го числа неофициально в мире отмечают день

, когда происходят математические конкурсы и другие интересные события.

Длина окружности обозначается через (C), диаметр и радиус (D = 2R), значит,

Так как длина всей окружности равна

C=2π⋅R

, то длина дуги в (1°) равна

2πR360°=πR180°

Если градусная мера дуги равна

градусам, то длина такой дуги

∪AB=l

выражается формулой

l=πR180°⋅α

Площадь круга определяется по формуле

S=π⋅R2

Площадь сектора, градусная мера дуги которого (1°), равна

πR2360°

Если градусная мера дуги равна

градусов, то площадь такого сектора выражается формулой

Sсект.=πR2360°⋅α

Источник

Поиск площади круга – стандартная задача. Обычно, она задается школьникам в шестом классе, помогает мягко перейти к изучению более сложных примеров из тригонометрии.

В этом материале мы расскажем о том, как найти площадь круга с помощью формулы, обратим внимание на основные определения, отличия которых важно понимать учащемуся. Уже через непродолжительное время тренировок, вы сможете полностью освоить все методы решения задач и получать высокие оценки на уроке.

Важные определения

Прежде чем отвечать на вопрос о том, как найти площадь круга
по радиусу или диаметру по формуле, нужно установить основные определения. Мы
будем пользоваться следующими терминами:

Круг. Так называют замкнутую плоскую кривую, в которой каждая точка имеет равное удаление от центральной.
Окружность. Это сразу множество точек, которые располагаются на плоскости. При этом расстояние удаления от центра не будет превышать диаметр.
Радиус. Расстояние от центра круга до любой его противоположной боковой точки.
Диаметр. Полное расстояние от двух точек, расположенных на равном удалении друг от друга.

Как найти площадь
круга по диаметру: формула

Формула поиска площади для диаметра будет выглядеть так:

S = d2 : 4 × π.

Здесь:

S – площадь.
d – диаметр.
π – константное число, которое в математических расчетах принимается как 3,14.

Как найти площадь
круга по радиусу: формула

Ищем итоговое значение также по формуле. Это S = π × r2. За число π берем константу 3,14. R – это радиус круга.

Как найти площадь через
длину окружности: формула

В математике иногда встречаются задачи, в которых известна длина окружности. В таком случае для решения нужно будет использовать стандартную формулу S = L2 : (4 × π).

Здесь L – это и есть площадь окружности.

Как найти площадь через длину окружности

Как ускорить процесс
обучения: советы специалистов

Есть несколько простых рекомендаций, которые помогают значительно ускорить учебный процесс, помогают быстрее освоиться с тем, как искать площадь круга по разным известным параметрам.

К ним относятся такие, как:

Убедитесь в том, что ребенок хорошо понимает основные определения. Педагогическая практика показывает, что дети часто путают радиус и диаметр, что приводит к появлению ошибок и выставлению низких оценок учителями.
В геометрии очень важна наглядность. Все задачи стоит решать исключительно вместе с рисунками круга на бумаге. Это также поможет ребенку значительно быстрее освоиться с использованием циркуля, линейки. Такие навыки сильно помогут в учебе в будущем.
Не показывайте ученику своего непонимания предмета. Он всегда должен видеть в вас человека, который обладает уверенными знаниями по такому вопросу. Не стоит демотивировать его, рассказывать о бесполезности расчетов.
Хорошее понимание предмета достигается исключительно через многократное решение задач. Их вы сможете без труда составить своими силами. Все что нужно – ставить условие поиска площади с разными исходными параметрами – длиной окружности, диаметром, радиусом и другими.
Усложните задачи через введение разных параметров обозначения площади. Есть множество вариантов прописывания площади – это квадратные сантиметры, миллиметры, метры, дециметры и километры. Хорошей математической тренировкой станет перевод разных значений друг в друга. Также можно попробовать посчитать в гектарах. Все это помогает в таких предметах, как геометрия, тригонометрия и математика.

Почему важно
тренироваться в решении задач с площадью круга

Мы рассмотрели, как найти площадь круга по формуле. Осталось
только ответить на вопрос о том, почему понимание этого вопроса представляет
такое большое значение для школьника. Вот лишь несколько важных причин:

Лучшее понимание геометрических терминов. Их
проще всего освоить на практике. Это пригодится при решении значительно более
сложных задач в старших классах.
Освоение единиц определения площади, решение
примеров по переводу величин друг в друга. Это поможет в геометрии и
математике. Можно воспользоваться умственным счетом или абакусом, что
дополнительно повысит успешность всего учебного процесса.
Создание базиса для решения комплексных
геометрических задач. Они часто направлены на то, чтобы ученик работал с
разными фигурами. При этом если пропустить понимание определения площади,
радиуса и диаметра круга, длины окружности, в будущем могут возникнуть
проблемы, отставание от программы.

Так как в школе дети часто не понимают таких сложных
предметов как геометрия до конца, рекомендуем уделить повышенное внимание
домашним занятиям. Это нужно делать регулярно и системно, но без сильного
давления на школьника, потенциально способного отбить интерес к учебе.

Источник

Об этой статье

Была ли эта статья полезной?

Онлайн-калькулятор площади круга

Как найти площадь круга

Формула площади круга через радиус круга

Формула площади круга через диаметр

Тест по теме “Площадь круга”

Содержание:

Окружность и круг — в чём отличие?

Формула площади круга через радиус

Формула площади круга через диаметр

Формула площади круга через длину окружности

Примеры задач на нахождение площади круга

Важные определения

Как найти площадь круга по диаметру: формула

Как найти площадь через длину окружности: формула

Как ускорить процесс обучения: советы специалистов

Почему важно тренироваться в решении задач с площадью круга

Не пропустите также:

Как найти площадь
круга по диаметру: формула

Как найти площадь через
длину окружности: формула

Как ускорить процесс
обучения: советы специалистов

Почему важно
тренироваться в решении задач с площадью круга