{L = dfrac{pi R alpha}{180degree}}
Длина дуги окружности — важный параметр, который используется в геометрии и математике для решения различных задач. На этой странице приведены две формулы для расчета длины дуги окружности — через радиус и угол между радиусами и по формуле Гюйгенса. Также вы можете рассчитать длину дуги окружности с помощью калькулятора, которые используют эти формулы.
Дуга — одно из двух подмножеств окружности, на которые её разбивают любые две различные принадлежащие ей точки. Любые две точки окружности разбивают её на две части, при этом каждая из частей является дугой.
Содержание:
- калькулятор длины дуги окружности
- формула длины дуги окружности через радиус и угол
- формула длины дуги окружности по формуле Гюйгенса
- примеры задач
Если обобщить, то дуга окружности — это часть окружности, ограниченная двумя ее точками. Ниже приведены несколько примеров дуг окружностей:
-
Полная окружность — это дуга, которая охватывает всю окружность. Угол, определяющий полную окружность, равен 360° или 2π радиан. Длина дуги полной окружности равна общей длине окружности, которая может быть вычислена по формуле L = 2πr, где r — радиус окружности.
-
Полуокружность — это дуга, которая охватывает половину окружности. Угол, определяющий полуокружность, равен 180° или π радиан. Длина дуги полуокружности равна половине общей длины окружности и может быть вычислена по формуле L = πr.
-
Сектор окружности — это область, ограниченная дугой окружности и двумя ее радиусами.
Это только несколько примеров дуг окружности. Дуги могут быть разных размеров и форм, в зависимости от угла, определяющего их, и расположения на окружности.
Формула длины дуги окружности через радиус и угол
{L = dfrac{pi R alpha}{180degree}}
R — радиус окружности
α — центральный угол (угол между радиусами) в градусах
{L = R alpha}
R — радиус окружности
α — центральный угол (угол между радиусами) в радианах
Формула длины дуги окружности по формуле Гюйгенса
{L approxeq 2m + dfrac{2m-M}{3}}
m — длина хорды m
M — длина хорды M
Обратите внимание, что в данной формуле используется не привычный знак равно «=», а знак «равно или почти равно», который записывается так — «approxeq». Это связано с тем, что формула Гюйгенса дает погрешность при вычислении. Хоть величина погрешности невелика, знать об этом надо.
Относительная погрешность формулы Гюйгенса составляет порядка 0,5% когда угол дуги равен 60°. Если же угловая мера дуги уменьшается, то уменьшается и погрешность. Например, для дуги в 45° относительная погрешность будет равна примерно 0,02%.
Примеры задач на нахождение длины дуги
Задача 1
Найдите длину дуги окружности радиуса 6см, если ее градусная мера равна 30.
Решение
Для решения этой задачи нам подойдет первая формула. Подставим в нее значение радиуса и угла и произведем вычисления:
L = dfrac{pi R alpha}{180degree} = dfrac{pi cdot 6 cdot 30degree}{180degree} = dfrac{pi cdot 180degree}{180degree} = pi : см approx 3.14 : см.
Ответ: {pi : см approx 3.14 : см.}
Введем известные значения в калькулятор для проверки полученного ответа.
Задача 2
Найдите длину дуги окружности радиуса 3см, если ее градусная мера равна 150 градусов.
Решение
Задача аналогична предыдущей. Также воспользуемся первой формулой.
L = dfrac{pi R alpha}{180degree} = dfrac{pi cdot 3 cdot 150degree}{180degree} = dfrac{pi cdot 3 cdot 5}{6} = dfrac{pi cdot 5}{2} = dfrac{5}{2} pi : см = 2.5 pi : см approx 7.85398 : см.
Ответ: {2.5 pi : см approx 7.85398 : см.}
В проверке ответа нам снова поможет калькулятор .
Длина дуги окружности имеет множество применений в математике и ее приложениях. Например, она используется для вычисления длины дуги графика функции, заданной в полярных координатах. Также длина дуги окружности используется при вычислении пути, пройденного телом при движении по окружности, а также для вычисления объема тела, полученного путем вращения дуги окружности вокруг ее диаметра.
В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно вычислить длину дуги сектора круга, а также разберем примеры решения задач для демонстрации их применения на практике.
- Определение дуги сектора круга
-
Формулы для нахождения длины дуги сектора
- Через центральный угол в градусах и радиус
- Через угол сектора в радианах и радиус
- Примеры задач
Определение дуги сектора круга
Дуга – это участок между двумя точками на окружности.
Дуга сектора круга – это участок между двумя точками на окружности, которые получены в результате пересечения этой окружности двумя радиусами, образовавшими сектор круга.
На рисунке ниже: AB – это дуга зеленого сектора круга с радиусом R (или r).
- OA = OB = R (r);
- α – угол сектора или центральный угол.
Формулы для нахождения длины дуги сектора
Через центральный угол в градусах и радиус
Длина (L) дуги сектора равняется числу π, умноженному на радиус круга (r), умноженному на центральный угол в градусах (α°), деленному на 180°.
Примечание: в расчетах используется число π, приблизительно равное 3,14.
Через угол сектора в радианах и радиус
Длина (L) дуги сектора равна произведению радиуса (r) и центрального угла, выраженного в радианах (aрад).
Примеры задач
Задание 1
Дан круг с радиусом 15 см. Найдите длину дуги сектора, угол которого равен 30°.
Решение
Воспользуемся формулой расчета, в которой используется центральный угол в градусах:
Задание 2
Длина дуги сектора равняется 24 см. Найдите, чему равен его угол (в радианах и градусах), если радиус круга составляет 12 см.
Решение
Для начала вычислим угол в радианах:
1 радиан ≈ 57,2958°
Следовательно, центральный угол приблизительно равняется 114,59° (2 рад ⋅ 57,2958°).
Дуга окружности — это фрагмент окружности. Если на окружности отметить две точки A И B, то она разобьётся на 2 части, называемые дугами окружности.
Для того, чтобы найти длину дуги окружности, необходимо использовать значение центрального угла, измеряемого в радианах или градусах.
Существует 2 формулы длины дуги окружности:
1) Если дан центральный угол в радианах: l = R*α, где R — радиус, α — величина угла AOB в радианах.
2) Если дан центральный угол в градусах: l = R*π*C/180, где R — радиус, C — величина угла AOB в градусах.
Пример
Дано:
1) радиус окружности R = 6 дм.
2) центральный угол AOB = 45°.
Найти:
Длину дуги AB.
Решение:
l = 6*3,14*1/4 дм. = 4,71 дм.
Как найти длину дуги окружности ?
r — радиус окружности
α — угол AOB, в градусах
Формула длины дуги ( L ):
Калькулятор для расчета длины дуги окружности :
Формулы для окружности и круга:
Длина дуги
На этой странице приведены две формулы для расчета длины дуги окружности — через радиус и угол между ними и по формуле Гюйгенса. Также вы можете рассчитать длину дуги окружности с помощью калькуляторов, которые используют эти формулы.
Дуга — одно из двух подмножеств окружности, на которые её разбивают любые две различные принадлежащие ей точки. Любые две точки окружности разбивают её на две части, при этом каждая из частей является дугой.
Как найти дугу окружности зная другую дугу
Площадь круга и его частей. Длина окружности и ее дуг
Основные определения и свойства
| Фигура | Рисунок | Определения и свойства |
| Окружность |  |
Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности
Дуга
Часть окружности, расположенная между двумя точками окружности
Круг
Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью
Сектор
Часть круга, ограниченная двумя радиусами
Сегмент
Часть круга, ограниченная хордой
Правильный многоугольник
Выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны
Около любого правильного многоугольника можно описать окружность
| Окружность |
|
Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности
Дуга
Часть окружности, расположенная между двумя точками окружности
Круг
Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью
Сектор
Часть круга, ограниченная двумя радиусами
Сегмент
Часть круга, ограниченная хордой
Правильный многоугольник
Выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны
Около любого правильного многоугольника можно описать окружность
Определение 1 . Площадью круга называют предел, к которому стремятся площади правильных многоугольников, вписанных в круг, при неограниченном возрастании числа сторон.
Определение 2 . Длиной окружности называют предел, к которому стремятся периметры правильных многоугольников, вписанных в круг, при неограниченном возрастании числа сторон.
Замечание 1 . Доказательство того, что пределы площадей и периметров правильных многоугольников, вписанных в круг, при неограниченном возрастании числа сторон действительно существуют, выходит за рамки школьной математики и в нашем справочнике не приводится.
Определение 3 . Числом π (пи) называют число, равное площади круга радиуса 1.
Замечание 2 . Число π является иррациональным числом, т.е. числом, которое выражается бесконечной непериодической десятичной дробью:
Число π является трансцендентным числом, то есть числом, которое не может быть корнем алгебраического уравнения с целочисленными коэффициентами.
Формулы для площади круга и его частей
| Числовая характеристика | Рисунок | Формула |
| Площадь круга |  |
,
где R – радиус круга, D – диаметр круга
Площадь сектора
,
если величина угла α выражена в радианах
,
если величина угла α выражена в градусах
Площадь сегмента
,
если величина угла α выражена в радианах
,
если величина угла α выражена в градусах
| Площадь круга |
|
,
где R – радиус круга, D – диаметр круга
Площадь сектора
,
если величина угла α выражена в радианах
,
если величина угла α выражена в градусах
Площадь сегмента
,
если величина угла α выражена в радианах
,
если величина угла α выражена в градусах
Формулы для длины окружности и её дуг
| Числовая характеристика | Рисунок | Формула |
| Длина окружности |  |
где R – радиус круга, D – диаметр круга
Длина дуги
если величина угла α выражена в радианах
,
если величина угла α выражена в градусах
| Длина окружности |
|
где R – радиус круга, D – диаметр круга
Длина дуги
если величина угла α выражена в радианах
,
если величина угла α выражена в градусах
Площадь круга
Рассмотрим две окружности с общим центром ( концентрические окружности ) и радиусами радиусами 1 и R , в каждую из которых вписан правильный n – угольник (рис. 1).
Обозначим через O общий центр этих окружностей. Пусть внутренняя окружность имеет радиус 1 .
Поскольку при увеличении n площадь правильного n – угольника, вписанного в окружность радиуса 1 , стремится к π , то при увеличении n площадь правильного n – угольника, вписанного в окружность радиуса R , стремится к числу πR 2 .
Таким образом, площадь круга радиуса R , обозначаемая S , равна
Длина окружности
то, обозначая длину окружности радиуса R буквой C , мы, в соответствии с определением 2, при увеличении n получаем равенство:
откуда вытекает формула для длины окружности радиуса R :
Следствие . Длина окружности радиуса 1 равна 2π.
Длина дуги
Рассмотрим дугу окружности, изображённую на рисунке 3, и обозначим её длину символом L(α), где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.
В случае, когда величина α выражена в градусах, справедлива пропорция
из которой вытекает равенство:
В случае, когда величина α выражена в радианах, справедлива пропорция
из которой вытекает равенство:
Площадь сектора
Рассмотрим круговой сектор, изображённый на рисунке 4, и обозначим его площадь символом S (α) , где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.
В случае, когда величина α выражена в градусах, справедлива пропорция
из которой вытекает равенство:
В случае, когда величина α выражена в радианах, справедлива пропорция
из которой вытекает равенство:
Площадь сегмента
Рассмотрим круговой сегмент, изображённый на рисунке 5, и обозначим его площадь символом S (α), где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.
Поскольку площадь сегмента равна разности площадей кругового сектора MON и треугольника MON (рис.5), то в случае, когда величина α выражена в градусах, получаем
В случае, когда величина α выражена в в радианах, получаем
Как найти длину дуги окружности ?
r — радиус окружности
α — угол AOB, в градусах
Формула длины дуги ( L ):
Калькулятор для расчета длины дуги окружности :
Формулы для окружности и круга:
Длина дуги
На этой странице приведены две формулы для расчета длины дуги окружности — через радиус и угол между ними и по формуле Гюйгенса. Также вы можете рассчитать длину дуги окружности с помощью калькуляторов, которые используют эти формулы.
Дуга — одно из двух подмножеств окружности, на которые её разбивают любые две различные принадлежащие ей точки. Любые две точки окружности разбивают её на две части, при этом каждая из частей является дугой.
http://mnogoformul.ru/dlina-dugi
http://b4.cooksy.ru/articles/kak-nayti-dugu-okruzhnosti-znaya-druguyu-dugu
Длина дуги
Лариса Семеновна Петрова
Эксперт по предмету «Калькуляторы»
Задать вопрос автору статьи
Из этой статьи вы узнаете, как выглядит формула длины дуги окружности через угол, а также научитесь определять длину дуги сектора по формуле Гюйгенса. Также на страницу добавлены онлайн-калькуляторы для вычисления по данным формулам.
Определение 1
Дугой окружности (сектора) называют часть окружности, ограниченную двумя точками.
Чтобы определить длину дуги окружности, введите заданные данные в поля для ввода онлайн-калькулятора.
Длина дуги через радиус и угол
Для определения длины дуги можно воспользоваться формулой:
$l = π cdot R cdot frac{α}{180°}$, где
$R$ — радиус окружности;
$α$ — угол, которым характеризуется дуга;
$π$ — константа.
Рассмотрим пример на использование этой формулы.
Пример 1
Задача
Угол, ограничивающий дугу, составляет $50°$, а радиус окружности равен $9$ см. Рассчитайте, чему равна длина дуги.
Решение:
$l = 3.14 cdot 9 cdot frac{50}{180} = 7.85$ см.
Проверим длину дуги окружности с помощью онлайн-калькулятора. Результат совпадает, значит ответ верный.
Длина дуги по формуле Гюйгенса
По формуле Гюйгенса длина дуги рассчитывается следующим образом:
$l ≈ 2 cdot AB + frac13 cdot ( 2 cdot AB — AC)$, здесь
$AC$ — хорда, соединяющая концы дуги;
$AB$ — хорда, соединяющая середину дуги, расположенную в точке $B$ и конец дуги $A$.
Формула Гюйгенса не является точной. Для угла в $60°$ погрешность по этой формуле будет составлять около $0.5%$, однако для меньших значений угла погрешность уменьшается.
Также посмотрим, как использовать формулу Гюйгенса.
Пример 2
Задача
Длина хорды $AC$ равна $3.51$ см, а хорды $AB$ $2.19$ см. Чему равна длина дуги $l$?
Решение:
$l = 2 cdot 2.19 + frac13 cdot (2 cdot 2.19 — 3.51) = 4.67$ см.
Результат совпадает, а значит, ответ — верный.
Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу
Поиск по теме
Дата написания статьи: 27.06.2019