Десятичные дроби — для чайников
Действия с десятичными дробями – деление умножение, сложение, вычитание, сравнение. Разбор примеров.
Все это здесь.
Между прочим, большинство ошибок на экзаменах происходят как раз из-за незнания простейших действий вроде этих.
Так что читай эту статью и отрабатывай скиллы.
Десятичные дроби — коротко о главном
1. Определение
Десятичной дробью называется обыкновенная дробь, знаменателем которой является ( 10) в какой-либо степени.
2. Конечная и бесконечная десятичная дробь
Десятичная дробь может быть:
- конечной, если она содержит конечное число цифр после запятой (( displaystyle frac{8}{10}, frac{13}{100},frac{49}{1000}));
- бесконечной, в том числе периодичной, если конечное число цифр определить не определено (( 0,05882352941…));
- периодической, если её последовательность цифр после запятой, начиная с некоторого места, представляет собой периодически повторяющуюся группу цифр (( displaystyle frac{1}{7}=0,underbrace{142857}_{{период}}underbrace{142857}_{период}142…=0,left( 142857 right)))
3. Свойства десятичных дробей
- Десятичная дробь не меняется, если справа добавить нули ( displaystyle frac{3}{100}=0,03=0,030=0,030000)и т.д.;
- Десятичная дробь не меняется, если удалить нули, расположенные в конце десятичной дроби: ( 0,014330000=0,01433);
- Десятичная дробь возрастает в ( 10), ( 100), ( 1000) и т.д. раз, если перенести десятичную точку на одну, две, три и т.д. позиций вправо: ( 0,0125cdot 100=1,25) (перенесли запятую на ( 2) знака вправо – умножили на ( 100) и дробь возросла в ( 100) раз);
- Десятичная дробь уменьшается в ( 10), ( 100), ( 1000) и т.д. раз, если перенести десятичную точку на одну, две, три и т.д. позиций влево: ( 124,56:100=1,2456) (перенесли запятую на ( 2) знака влево – разделили на ( 100) и дробь уменьшилась в ( 100) раз).
4. Сложение десятичных дробей
Сложение происходит, как и сложение натуральных чисел в столбик, при этом запятая в ответе ставиться четко на том же месте, как и в складываемых числах.
5. Вычитание десятичных дробей
Так же, как и при сложении, при вычитании десятичные дроби записываются «столбиком»:
6. Умножение десятичных дробей
Десятичные дроби также записываются в столбик и умножаются как обыкновенные числа. При умножении нам неважно, стоят ли запятые под запятыми и так далее.
Однако, удобно, когда числа выровнены по правому краю – умножение происходит более упорядочено.
7. Деление десятичных дробей
Деление десятичной дроби на натуральное число
- Делим десятичную дробь на натуральное число по правилам деления в столбик, не обращая внимания на запятую в делимом (то число, которое мы делим на какое-либо другое число)
- Ставим в частном запятую, когда заканчивается деление целой части делимого.
Деление десятичных дробей друг на друга
- Считаем количество знаков справа от запятой в десятичной дроби.
- Умножаем и делимое, и делитель на 10, 100 или 1000 и т.д., в зависимости от того, сколько мы насчитали знаков в первом пункте. Умножать необходимо, чтобы превратить десятичную дробь в целое число.
Десятичные дроби — подробнее
Конечно, ты знаешь, что такое обыкновенная дробь. Например, ( displaystyle frac{1}{3}, frac{1}{4},frac{5}{112}).
Наравне с приведенными выше дробями существуют дроби ( displaystyle frac{8}{10}, frac{13}{100},frac{49}{1000}) и т.д.
Такие дроби можно записать намного удобнее и более кратко, то есть:
( displaystyle frac{8}{10}=0,8)
( displaystyle frac{13}{100}=0,13)
( displaystyle frac{49}{1000}=0,049)
Данного вида дроби называются десятичными. Иными словами:
Десятичной дробью называется обыкновенная дробь, знаменателем которой является ( 10) в какой-либо степени (первый пример – ( 10) в первой степени, второй – ( 10) во второй степени и т.д.).
Ты наверняка знаешь, что каждая цифра после запятой имеет свое название. На всякий случай напомню тебе про них, чтобы в дальнейшем мы говорили на одном языке:
Это огромное число читается по следующему алгоритму:
- Сначала читается число, стоящее до запятой и добавляется слово «целых»: ««( 46) целых»;
- Затем читается как обыкновенное число слева после запятой и добавляется слово, обозначающее название самой последней цифры. В нашем случае – «одна тысяча двести тридцать четыре десятитысячные».
А теперь прочитаем все вместе – «( 46) целых одна тысяча двести тридцать четыре десятитысячные». Разобрался? Переходим к визуализации полученных знаний!
Итак, небольшая тренировка на понимание, что такое эта десятичная дробь! Нарисуй квадрат ( 10) на ( 10) и закрась какую-нибудь его часть равную:
- ( 0,05;)
- ( 0,4;)
- ( 0,27;)
- ( 0,245)
Справился? Проверяем, что у тебя получилось.
Во-первых, квадрат ( 10) на ( 10) состоит из ( 100) клеточек. Соответственно, ( 0.05) – ( 5) клеточек из ( 100); ( 0,4) – ( 40) клеточек из ( 100) и так далее.
Наверняка, наибольшее затруднение составило последнее число – ( -0,245). На картинке это необходимо отразить как 24,5 клетки.
В общем, смотри:
С понятиями разобрались, теперь научимся переводить из десятичной дроби в обыкновенную и обратно.
Перевод из десятичной дроби в обыкновенную и обратно
Попробуй перевести:
- ( 0,136)
- ( 0,2436)
- ( 0,0456)
- ( 0,21)
Сравним ответы:
- ( displaystyle 0,136=frac{136}{1000})
- ( displaystyle 0,2436=frac{2436}{10000})
- ( displaystyle 0,0456=frac{456}{10000})
- ( displaystyle 0,21=frac{21}{100})
Уверена, что ты с легкостью справился! А как насчет обратного перевода? Из обыкновенных в десятичные?
Попробуй свои силы на вот этих дробях:
- ( displaystyle frac{2}{10})
- ( displaystyle frac{3}{100})
- ( displaystyle frac{4}{1000})
- ( displaystyle frac{4562}{100})
А вот и ответы:
- ( displaystyle frac{2}{10}=0,2)
- ( displaystyle frac{3}{100}=0,03)
- ( displaystyle frac{4}{1000}=0,004)
- ( displaystyle frac{4562}{100}=45frac{62}{100}=45,62)
Если ты со всем справился, можешь пропускать следующий абзац, а если где-то допустил ошибку, внимательно прочти о том, как легко и 100% правильно переводить дроби из обыкновенных в десятичные.
- Смотрим на дробь и определяем, есть ли у нее целая часть? Если есть, выделяем целую часть, записываем ее, и ставим запятую.
- После запятой должно быть столько знаков, сколько нулей стоит в знаменателе. Например, дробь ( displaystyle frac{4}{1000}) — ( 3) нуля в знаменателе, соответственно, мы как бы мысленно выделяем ( 3) ячейки.
- Затем записываем числитель – ( 4), но выравниваем его по правому краю, а в пустые ячейки вставляем нули.
Разобрался? Посмотри еще раз эту маленькую «инструкцию»:
Я думаю, ты во всем-всем разобрался! Потренируемся? Попробуй поработать еще с вот этими дробями:
- ( displaystyle frac{26}{10})
- ( displaystyle frac{43}{100})
- ( displaystyle frac{99}{1000})
- ( displaystyle frac{3562}{100})
А теперь ответы:
- ( displaystyle frac{26}{10}=2,6)
- ( displaystyle frac{43}{100}=0,43)
- ( displaystyle frac{99}{1000}=0,099)
- ( displaystyle frac{3562}{100}=35,62)
Виды десятичных дробей
Десятичная дробь может быть:
- конечной, если она содержит конечное число цифр после запятой (( displaystyle frac{8}{10}, frac{13}{100},frac{49}{1000}));
- бесконечной, в том числе периодичной, если конечное число цифр определить не определено (( 0,05882352941…));
- периодической, если её последовательность цифр после запятой, начиная с некоторого места, представляет собой периодически повторяющуюся группу цифр (( displaystyle frac{1}{7}=0,underbrace{142857}_{{период}}underbrace{142857}_{период}142…=0,left( 142857 right))).
Поговорим сначала о конечных дробях.
Конечная десятичная дробь
Само собой понятно, что дроби ( displaystyle frac{8}{10}, frac{13}{100},frac{49}{1000}) являются конечными, ведь знаменатель дроби уже представлен как единица с последующими нулями, и поэтому мы сразу можем сказать, что данную обыкновенную дробь можно перевести в конечную десятичную. А что ты скажешь насчет этой дроби: ( displaystyle frac{1}{4})? Ее знаменатель далеко не единица с последующими нулями, но ты четко знаешь, что у нее есть десятичный «аналог»:
( displaystyle frac{1}{4}=frac{1cdot 25}{4cdot 25}=frac{25}{100}=0,25)
То есть, чтобы определить, можно ли перевести дробь в десятичную, необходимо умножить числитель и знаменатель на одно и то же число, такое, чтобы знаменатель стал равен ( 10), ( 100), ( 1000) и так далее.
Усвоил? Постарайся представить в виде конечной десятичной дроби следующие обыкновенные дроби:
- ( displaystyle frac{1}{5})
- ( displaystyle frac{1}{8})
- ( displaystyle frac{3}{5})
- ( displaystyle frac{1}{16})
Сравним наши ответы:
- ( displaystyle frac{1cdot 2}{5cdot 2}=frac{2}{10}=0,2)
- ( displaystyle frac{125}{1000}=0,125)
- ( displaystyle frac{3}{5}=frac{6}{10}=0,6)
- ( displaystyle frac{1}{16}=frac{625}{10000}=0,0625)
Справился? Молодец. Выходим на новый уровень и переходим к бесконечным десятичным дробям.
Бесконечная десятичная дробь
Итак, бери калькулятор и дели ( 1) на ( 17). Поделил? Ты получил ( 0,05882352941) и дальше окошко калькулятора не показывает… Это тоже является десятичной дробью, только данная десятичная дробь является бесконечной. Ты сейчас скажешь, а как же наше определение?
Десятичной дробью называется обыкновенная дробь, знаменателем которой является ( 10) в какой-либо степени (первый пример – ( 10) в первой степени, второй – ( 10) во второй степени и т.д.).
Все очень просто и никаких противоречий с определением нет. В данном случае нам необходимо привести наш знаменатель к ( {{10}^{n}}), с учетом, что ( n) это какое-либо бесконечное число, которое мы не можем «обозреть» взглядом», или иными словами – ( nto +infty )
Таким образом:
Бесконечной десятичной дробью называется обыкновенная дробь, в записи которой после запятой содержится бесконечное количество цифр.
Как правило, в задачах, где встречаются бесконечные десятичные дроби, просят указать ответ либо с округлением (например, до десятых, или до сотых), либо записать в виде обыкновенной дроби, то есть как ( displaystyle frac{1}{17}).
Подумай, какой самый популярный пример можно привести на тему «бесконечная десятичная дробь»? Правильно! Число ( pi ) является бесконечной десятичной дробью. Во всем мире люди договорились, что для решения математических задач принято, что ( pi =3,14), но это далеко не так. Число ( pi ) не имеет определенного завершения. Оно настолько бесконечно, что ежегодно в мире проводятся соревнования по запоминанию числа ( pi ). Мировой рекорд по запоминанию знаков числа ( pi ) после запятой принадлежит китайцу Лю Чао, который в 2006 году в течение 24 часов и 4 минут воспроизвёл 67 890 знаков после запятой без ошибки! Все 67 890 знаков после запятой мы приводить не будем, а приведем несколько сокращенную запись:
( pi =3,1415926535text{ }8979323846text{ }2643383279text{ }5028841971)
Думаю, этого хватит, чтобы оценить «масштабы» данного числа.
Наравне с бесконечными десятичными дробями существуют периодические десятичные дроби. Они так же не имеют конца, но последующие числа в них повторяются, например, попробуй перевести в десятичную дробь ( displaystyle frac{1}{3}). Что у тебя получилось?
( displaystyle frac{1}{3}=0,333333333….)
Чтобы не повторять число ( 3) много много раз, решили говорить «ноль целых и три в периоде», так как тройка будет повторяться после запятой бесконечное число раз. Из этого умозаключения следует определение:
Дробь называется периодической, если её последовательность цифр после запятой, начиная с некоторого места, представляет собой периодически повторяющуюся группу цифр.
Чтобы кратко записать такую дробь, период (повторяющиеся цифры после запятой) пишут в скобках:
( displaystyle frac{1}{3}=0,underbrace{3}_{период}33333333….=0,left( 3 right))
( displaystyle frac{1}{7}=0,underbrace{142857}_{{период}}underbrace{142857}_{период}142…=0,left( 142857 right))
Важно, что период не может начинаться слева от запятой:
( displaystyle frac{100}{7}=underbrace{14,2857}_{не период}1428571428571…=14,left( 285714 right)).
Свойства десятичных дробей
Существует четыре свойства десятичных дробей. Они очень простые, и ты 100% знаешь о всех них, но давай их перечислим и вспомним:
1. Десятичная дробь не меняется, если справа добавить нули
( displaystyle frac{3}{100}=0,03=0,030=0,030000)и т.д.
2. Десятичная дробь не меняется, если удалить нули, расположенные в конце десятичной дроби:
( 0,014330000=0,01433)
ВНИМАНИЕ!!! Нельзя удалять нули, расположенные не в конце десятичной дроби!!!!
( 0,014330000ne 0,1433)
3. Десятичная дробь возрастает в ( 10), ( 100), ( 1000) и т.д. раз, если перенести десятичную точку на одну, две, три и т.д. позиций вправо:
( 0,0125cdot 100=1,25) (перенесли запятую на ( 2) знака вправо – умножили на ( 100) и дробь возросла в ( 100) раз)
4. Десятичная дробь уменьшается в ( 10), ( 100), ( 1000) и т.д. раз, если перенести десятичную точку на одну, две, три и т.д. позиций влево:
( 124,56:100=1,2456) (перенесли запятую на ( 2) знака влево – разделили на ( 100) и дробь уменьшилась в ( 100) раз)
Последние два свойства позволяют быстро умножать и делить десятичные дроби на ( 10), ( 100), ( 1000) и т.д. о чем подробнее мы поговорим чуть ниже.
Действия с десятичными дробями
Десятичные дроби – это обычные числа. Мы можем складывать их, вычитать из одной другую, умножать и делить.
Очень важно уметь правильно производить с ними математические действия, так как зачастую именно от арифметических ошибок зависит твоя оценка на экзамене.
Несомненно, ты знаешь, как все это делать, но на всякий случай, дам тебе краткую инструкцию к применению.
Как складывать десятичные дроби
При сложении десятичные дроби записываются «столбиком», так чтобы одноимённые разряды находились друг под другом без смещения. Соответственно, запятые стоят четко друг под другом.
Разберемся на примере:
Сложение происходит, как и сложение натуральных чисел в столбик, при этом запятая в ответе ставится четко на том же месте, как и в складываемых числах.
Если исходные числа имеют разное количество знаков после запятой, то к дроби с меньшим количеством десятичных знаков нужно приписать необходимое число нулей, чтобы уравнять в дробях количество знаков после запятой.
Если при сложении в сумме мы получаем больше ( 10), то одна единица прибавляется к сумме при сложении цифр следующего разряда.
Решим наш пример, учтя все правила:
Разобрался? Посчитай в столбик самостоятельно:
- ( 0,0125+0,141)
- ( 2,4225+0,34)
- ( 122,4355+1,34)
- ( 2,435+12,3)
Сравним ответы:
- ( 0,0125+0,141=0,1535)
- ( 2,4225+0,34=2,7625)
- ( 122,4355+1,34=123,7755)
- ( 2,435+12,3=14,735)
Как вычитать десятичные дроби
Так же, как и при сложении, при вычитании десятичные дроби записываются «столбиком», так чтобы одноимённые разряды находились друг под другом без смещения.
Соответственно, запятые стоят четко друг под другом.
Вычитание происходит, как и вычитание натуральных чисел в столбик, при этом запятая в ответе ставиться четко на том же месте, как и в числах, с которыми мы работаем.
Если исходные числа имеют разное количество знаков после запятой, то к дроби с меньшим количеством десятичных знаков нужно приписать необходимое число нулей, чтобы уравнять в дробях количество знаков после запятой.
Если при вычитании получается, что мы из меньшего числа вычитаем большее, то мы как бы занимаем десяток у более высокого разряда (при вычитании сотых частей, берем десяток у десятых, при вычитании десятых – у единиц и так далее), не забывая уменьшить вычитаемое число у заимствованного разряда.
Посмотрим подробно на примере:
Думаю, с рисунком тебе стало все понятно. Попробуй посчитать в столбик следующие выражения:
- ( 0,0125-0,141)
- ( 2,4225-0,34)
- ( 122,4355-1,34)
- ( 12,435-12,3)
Сравним полученные ответы:
- ( 0,0125-0,141=-0,1285)
- ( 2,4225-0,34=2,0825)
- ( 122,4355-1,34=121,0955)
- ( 12,435-12,3=0,135)
Как умножать десятичные дроби
Десятичные дроби также записываются в столбик и умножаются как обыкновенные числа. При умножении нам неважно, стоят ли запятые под запятыми и так далее.
Однако, удобно, когда числа выровнены по правому краю – умножение происходит более упорядочено.
Мы начинаем запись числа, получающего при перемножении, под тем разрядом второго числа, на который умножаем. Далее мы суммируем полученные числа и только затем ставим запятую.
Чтобы определить, между какими числами должна стоять запятая, мы должны посмотреть, сколько чисел стоит после знака запятой у первого множителя, сколько у второго, сложить их и отсчитать справа данное количество чисел.
Непонятно? Смотри:
Как ты видишь, при перемножении мы будем складывать столько слагаемых, сколько разрядов содержится во втором множителе, поэтому удобней записывать числа так, чтобы первый множитель был по количеству чисел больше, чем второй.
Таким способом мы значительно снизим вероятность ошибок.
Не веришь? Смотри:
Если при умножении мы получаем число, которое больше ( 9), например ( 12), то единицу мы прибавляем к значению, полученному при умножении последующих чисел следующего десятка.
Соответственно, если получаем, например, ( 24), то прибавляем ( 2).
Проиллюстрируем данное правило:
Разобрался? Дорешай данный пример самостоятельно.
Сколько у тебя получилось? У меня ( 10,33911).
А теперь пора приступить к некоторым очень важным моментам, которые помогут сохранить время на экзамене.
Как делить десятичные дроби
Теперь ты знаешь о десятичных дробях почти все. Осталось только разобраться с тем, как их делить друг на друга.
Если ты отлично это представляешь, смело пропускай данный подраздел. Если нет – смотри инструкцию к применению.
Итак. Мы рассмотрим два вида деления:
- деление десятичной дроби на натуральное число;
- деление десятичной дроби на десятичную дробь.
Начнем с деления десятичной дроби на натуральное число.
Чтобы делить десятичную дробь на натуральное число, необходимо пользоваться следующими правилами:
- Делим десятичную дробь на натуральное число по правилам деления в столбик, не обращая внимания на запятую в делимом (то число, которое мы делим на какое-либо другое число)
- Ставим в частном запятую, когда заканчивается деление целой части делимого.
Важно!!!
Если целая часть делимого меньше делителя, то в частном ставим ( 0) целых. Логично, правда?
Рассмотрим на конкретном примере:
Усвоил? Раздели столбиком следующие числа:
- ( 135,2:5)
- ( 16,4:2)
- ( 158,14:4)
- ( 2,456:2)
- ( 0,626:2)
Сравним наши ответы:
- ( 135,2:5=27,04)
- ( 16,4:2=8,2)
- ( 158,14:4=39,535)
- ( 2,456:2=1,228)
- ( 0,626:2=0,313)
Вспомни теперь свойства десятичных дробей, описанные ранее: если нам необходимо разделить дробь на ( 10), ( 100), ( 1000) и так далее, нет необходимости делать это в столбик – мы можем просто перенести запятую на столько цифр влево, сколько нулей у нас в делителе.
Например: ( 135,2:10=13,52).
А теперь попробуй самостоятельно:
- ( 135,2:100)
- ( 16,4:10)
- ( 158,14:1000)
- ( 2,456:10)
Перенес? Смотри, что у меня получилось:
- ( 135,2:100=1,352)
- ( 16,4:10=1,64)
- ( 158,14:1000=0,15814)
- ( 2,456:10=0,2456)
Молодец! Переходим к делению десятичных дробей друг на друга.
Деление десятичных дробей друг на друга
Итак, для того чтобы это делать существует три правила:
- Считаем количество знаков справа от запятой в десятичной дроби.
- Умножаем и делимое, и делитель на ( 10), ( 100) или ( 1000) и т.д., в зависимости от того, сколько мы насчитали знаков в первом пункте. Умножать необходимо, чтобы превратить десятичную дробь в целое число.
- Делим числа как натуральные.
ВАЖНО!!! При умножении мы смотрим, в каком из чисел, участвующих в делении, присутствует наибольшее количество знаков после запятой? Ориентируясь именно на это число мы умножаем на ( 10), ( 100), ( 1000) и так далее.
Рассмотрим на примере ( 16,4:0,02)
В каком числе у нас стоит наибольшее количество знаков после запятой? Правильно, во втором, то есть в делителе: после нуля стоит два знака. Что из этого следует? Что мы умножаем и делимое и делитель на ( 100)!
Что дальше? Мы получаем следующий пример: ( 1640:2) Посчитай, сколько это будет самостоятельно. У меня получилось ( 820).
Рассмотрим примерчик посложнее: ( 5,31:0,3)
Самое большое количество знаков после запятой содержится в первом числе – их два, соответственно, умножаем оба числа, участвующего в делении на ( 100). Получаем: ( 531:30).
А теперь делим в столбик:
Ты видишь, что нацело разделить не получилось, мы «снесли» еще один ноль, и только тогда пришли к ответу, поэтому сразу после окончания деления нашего делимого, мы ставим запятую.
Теперь ты полностью готов совершать любые действия с десятичными дробями. Молодец! Рассмотрим только, как их сравнивать, хотя я думаю, ты уже и сам с этим справишься!
Как сравнивать десятичные дроби
Мы можем сравнивать десятичные дроби двумя способами.
Способ первый – поразрядно.
Допустим, нам необходимо сравнить ( 5,365 V 5,36)
1. Смотрим, одинаковое ли количество знаков после запятой стоит у каждой дроби? Нет? Значит дописываем справа необходимое количество нулей (ты же помнишь, что от дописывания нулей дробь неизменна, правда?)
Что у нас получилось? Верно: ( 5,365 V 5,360)
2. Начинаем сравнивать слева направо: целую часть с целой, десятые части с десятыми и так далее. Когда одна из частей дроби оказывается больше аналогичной части другой, эта дробь и больше.
Перейдем к нашему примеру: целые части у нас одинаковы – их значение ( 5). Десятые тоже – ( 3). Сотые – ( 6), а вот тысячные у первой дроби ( 5), а у второй ( 0). Что больше: ( 5) или ( 0)? Верно, ( 5), соответственно:
( 5,365 > 5,360)
Способ второй – с помощью умножения.
Внимательно смотрим на дроби. На сколько нам нужно умножить два числа, чтобы сравнивать целые числа? Смотрим на ту дробь, у которой знаков после запятой больше, то есть на первую. У нее после запятой ( 3) знака, соответственно, чтобы сделать из нее целое число, необходимо умножить на ( 1000) Умножаем обе дроби на это значение:
( 5,365cdot 1000 V 5,36cdot 1000)
( 5365 V 5360)
Эти числа ты сравнишь без проблем:
( 5365 > 5360)
Заметь, результат получился одинаковый. Теперь попробуй сравнить дроби самостоятельно любым наиболее удобным для тебя способом:
- ( 21,34 V 20,34)
- ( 0,34 V 0,341)
- ( 120,15 V 1210,16)
- ( 10,565 V 10,465)
Справился? Смотри что вышло:
- ( 21,34 > 20,34)
- ( 0,34 < 0,341)
- ( 120,15 < 1210,16)
- ( 10,565 > 10,465)
Вот теперь ты усвоил дроби полностью!
Подготовка к ЕГЭ на 90+ в мини-группах
Алексей Шевчук — ведущий мини-групп
математика, информатика, физика
+7 (905) 541-39-06 — WhatsApp/Телеграм для записи
alexei.shevchuk@youclever.org — email для записи
- тысячи учеников, поступивших в лучшие ВУЗы страны
- автор понятного всем учебника по математике ЮКлэва (с сотнями благодарных отзывов);
- закончил МФТИ, преподавал на малом физтехе;
- репетиторский стаж — c 2003 года;
- в 2021 году сдал ЕГЭ (математика 100 баллов, физика 100 баллов, информатика 98 баллов — как обычно дурацкая ошибка:);
- отзыв на Профи.ру: «Рейтинг: 4,87 из 5. Очень хвалят. Такую отметку получают опытные специалисты с лучшими отзывами».
Итак, теперь мы должны научится производить с десятичными дробями такие же действия, как и с обыкновенными дробями: научимся их сравнивать, складывать, вычитать, умножать и делить. На первом этапе мы должны помнить, что все эти действия мы будем выполнять с конечными десятичными дробями.
Для этого нам надо понять, что же такое конечные десятичные дроби и бесконечные десятичные дроби.
Конечная десятичная дробь — это дробь, у которой после запятой стоит конечное число цифр.
Бесконечная десятичная дробь — это дробь, у которой после запятой стоит бесконечное число цифр.
О бесконечных дробях мы поговорим чуть позже. Но для начала нам нужно научится определять какая десятичная дробь получится из обыкновенной дроби — конечная или бесконечная?
Обыкновенную дробь можно перевести в конечную десятичную дробь, если её знаменатель раскладывается только на множители 2 и 5 (которые могут повторяться).
Этап 1. Возьмем обыкновенную дробь
$$ frac{11}{40} $$
Этап 2. Разложим знаменатель этой дроби на простые множители.
Здесь простые множители содержат только числа 2 и 5 (двойка повторяется, но это разрешено правилом).
Мы можем также записать это:
или 
И тогда мы получаем:
или 
Этап 3. Переведем нашу обыкновенную дробь в десятичную
Как это сделать? Ведь знаменатель дроби — число 40, а мы знаем, что у десятичных дробей знаменателем должен равняться 10, 100, 1000 и так далее (то есть одной из степеней числа 10).
Воспользуемся основным свойством дроби, оно гласит, что если мы умножим и числитель, и знаменатель дроби на одно и то же число, то получится дробь, равная той, которую мы умножили.
Подумаем, на что мы должны умножить число 40. Мы понимаем, что знаменатель 100 у нас не получится, значит, нужно умножить 40 на 25 и мы получим 1000.
Согласно основному свойству дроби, которое мы написали выше, если мы умножили знаменатель на 25, то и числитель мы тоже должны умножить на 25. Умножаем 11 на 25 и получаем 275.
Итак, мы получили дробь
$$ frac{275}{1000} $$
Теперь нам нужно только записать её в виде десятичной дроби. Как это сделать мы рассмотрим в следующей части.
А сейчас рассмотрим пример, когда знаменатель дроби показывает нам, что конечной десятичной дроби у нас не получится.
Этап 1. Возьмем обыкновенную дробь
$$ frac{7}{15} $$
Этап 2. Разложим знаменатель этой дроби на простые множители.
Здесь один из простых множителей — это число 3 . Можно и не продолжать дальше — и так понятно, что здесь может быть только бесконечная десятичная дробь.
Евгений Николаевич Беляев
Эксперт по предмету «Математика»
Задать вопрос автору статьи
Десятичная запись дробного числа
Дробное число можно представить в виде десятичной записи дробного числа.
Десятичная запись дробного числа представляет собой набор двух и более цифр от $0$ до $9$, между которыми находится так называемая textit{десятичная запятая}.
Пример 1
Например, $35,02$; $100,7$; $123 456,5$; $54,89$.
Крайняя левая цифра в десятичной записи числа не может быть нулем, исключением является только случай, когда десятичная запятая стоит сразу после первой цифры $0$.
Пример 2
Например, $0,357$; $0,064$.
Часто десятичную запятую заменяют десятичной точкой. Например, $35.02$; $100.7$; $123 456.5$; $54.89$.
Сдай на права пока
учишься в ВУЗе
Вся теория в удобном приложении. Выбери инструктора и начни заниматься!
Получить скидку 3 000 ₽
Определение десятичной дроби
Определение 1
Десятичные дроби — это дробные числа, которые представлены в десятичной записи.
Например, $121,05$; $67,9$; $345,6700$.
Десятичные дроби используются для более компактной записи правильных обыкновенных дробей, знаменателями которых являются числа $10$, $100$, $1 000$ и т.д. и смешанные числа, знаменателями дробной части которых являются числа $10$, $100$, $1 000$ и т.д.
Например, обыкновенную дробь $frac{8}{10}$ можно записать в виде десятичной дроби $0,8$, а смешанное число $405frac{8}{100}$ — в виде десятичной дроби $405,08$.
Чтение десятичных дробей
Десятичные дроби, которые соответствуют правильным обыкновенным дробям, читаются также как и обыкновенные дроби, только впереди добавляется фраза «ноль целых». Например, обыкновенной дроби $frac{25}{100}$ (читается «двадцать пять сотых») отвечает десятичная дробь $0,25$ (читается «нуль целых двадцать пять сотых»).
«Десятичные дроби. Понятие десятичной дроби» 👇
Десятичные дроби, которые соответствуют смешанным числам, читаются также как и смешанные числа. Например, смешанному числу $43frac{15}{1000}$ соответствует десятичная дробь $43,015$ (читается «сорок три целых пятнадцать тысячных»).
Разряды в десятичных дробях
В записи десятичной дроби значение каждой цифры зависит от ее позиции. Т.е. в десятичных дробях также имеет место понятие разряда.
Разряды в десятичных дробях до десятичной запятой называются так же, как и разряды в натуральных числах. Разряды в десятичных дробях после запятой вынесены в таблицу:
Рисунок 1.
Пример 3
Например, в десятичной дроби $56,328$ цифра $5$ стоит в разряде десятков, $6$ — в разряде единиц, $3$ — в разряде десятых, $2$ — в разряде сотых, $8$ — в разряде тысячных.
Разряды в десятичных дробях различают по старшинству. При чтении десятичной дроби движутся слева направо — от старшего разряда к младшему.
Пример 4
Например, в десятичной дроби $56,328$ старшим (высшим) разрядом является разряд десятков, а младшим (низшим) — разряд тысячных.
Десятичную дробь можно разложить по разрядам аналогично разложению по разрядам натурального числа.
Пример 5
Например, разложим по разрядам десятичную дробь $37,851$:
$37,851=30+7+0,8+0,05+0,001$
Конечные десятичные дроби
Определение 2
Конечными десятичными дробями называют десятичные дроби, в записях которых содержится конечное число знаков (цифр).
Например, $0,138$; $5,34$; $56,123456$; $350 972,54$.
Любую конечную десятичную дробь можно перевести в обыкновенную дробь или смешанное число.
Пример 6
Например, конечной десятичной дроби $7,39$ отвечает дробное число $7frac{39}{100}$, а конечной десятичной дроби $0,5$ соответствует правильная обыкновенная дробь $frac{5}{10}$ (или любая дробь, которая равна ей, например, $frac{1}{2}$ или $frac{10}{20}$.
Перевод обыкновенной дроби в десятичную дробь
Перевод обыкновенных дробей со знаменателями $10, 100, dots$ в десятичные дроби
Перед переводом некоторых правильных обыкновенных дробей в десятичные их нужно предварительно «подготовить». Результатом такой подготовки должно быть одинаковое количество цифр в числителе и количество нулей в знаменателе.
Суть «предварительной подготовки» правильных обыкновенных дробей к переводу в десятичные дроби — дописывание слева в числителе такого числа нулей, чтобы общее количество цифр стало равно числу нулей в знаменателе.
Пример 7
Например, подготовим обыкновенную дробь $frac{43}{1000}$ к переводу в десятичную и получим $frac{043}{1000}$. А обыкновенная дробь $frac{83}{100}$ в подготовке не нуждается.
Сформулируем правило перевода правильной обыкновенной дроби со знаменателем $10$, или $100$, или $1 000$, $dots$ в десятичную дробь:
-
записать $0$;
-
после него поставить десятичную запятую;
-
записать число из числителя (вместе с дописанными нулями после подготовки, если она была нужна).
Пример 8
Перевести правильную обыкновенную дробь $frac{23}{100}$ в десятичную.
Решение.
В знаменателе стоит число $100$, которое содержит $2$ два нуля. В числителе стоит число $23$, в записи которого $2$.цифры. значит, подготовку для этой дроби к переводу в десятичную проводить не нужно.
Запишем $0$, поставим десятичную запятую и запишем число $23$ из числителя. Получим десятичную дробь $0,23$.
Ответ: $0,23$.
Пример 9
Записать правильную дробь $frac{351}{100000}$ в виде десятичной дроби.
Решение.
В числителе данной дроби $3$ цифры, а число нулей в знаменателе — $5$, поэтому данную обыкновенную дробь нужно подготовить к переводу в десятичную. Для этого необходимо дописать $5-3=2$ нуля слева в числителе: $frac{00351}{100000}$.
Теперь можем составить нужную десятичную дробь. Для этого запишем $0$, затем поставим запятую и запишем число из числителя. Получим десятичную дробь $0,00351$.
Ответ: $0,00351$.
Сформулируем правило перевода неправильных обыкновенных дробей со знаменателями $10$, $100$, $dots$ в десятичные дроби:
-
записать число из числителя;
-
отделить десятичной запятой столько цифр справа, сколько нулей в знаменателе исходной дроби.
Пример 10
Перевести неправильную обыкновенную дробь $frac{12756}{100}$ в десятичную дробь.
Решение.
Запишем число из числителя $12756$, затем отделим десятичной запятой $2$ цифры справа, т.к. в знаменателе исходной дроби $2$ нуля. Получим десятичную дробь $127,56$.
Ответ: $127,56$.
Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу
Поиск по теме
Что такое десятичная запись дробных чисел
Так называемая десятичная запись дробных чисел может быть использована как для натуральных, так и для дробных чисел. Она выглядит как набор из двух и более цифр, между которыми есть запятая.
Десятичная запятая нужна для того, чтобы отделять целую часть от дробной. Как правило, последняя цифра десятичной дроби не бывает нулем, за исключением случаев, когда десятичная запятая стоит сразу после первого же нуля.
Какие можно привести примеры дробных чисел в десятичной записи? Это может быть 34,21,0,35035044,0,0001,11231552,934,21, 0,35035044, 0,0001, 11 231 552,9 и др.
В некоторых учебниках можно встретить использование точки вместо запятой (5.67,6789.10115.67, 6789.1011 и др.) Это вариант считается равнозначным, но он более характерен для англоязычных источников.
Определение десятичных дробей
Основываясь на указанном выше понятии десятичной записи, мы можем сформулировать следующее определение десятичных дробей:
Определение 1
Десятичные дроби представляют собой дробные числа в десятичной записи.
Для чего нам нужна запись дробей в такой форме? Она дает нам некоторые преимущества перед обыкновенными, например, более компактную запись, особенно в тех случаях, когда в знаменателе стоят 1000,100,101000, 100, 10 и др. или смешанное число. Например, вместо 610610 мы можем указать 0,60,6, вместо 2510000–0,00232510000 – 0, 0023, вместо 5123100–512,035123100 – 512,03.
О том, как правильно представить в десятичном виде обыкновенные дроби с десятками, сотнями, тысячами в знаменателе, будет рассказано в рамках отдельного материала.
Как правильно читать десятичные дроби
Существуют некоторые правила чтения записей десятичных дробей. Так, те десятичные дроби, которым соответствуют их правильные обыкновенные эквиваленты, читаются почти так же, но с добавлением слов «ноль десятых» в начале. Так, запись 0,140,14, которой соответствует 1410014100, читается как «ноль целых четырнадцать сотых».
Если же десятичной дроби можно поставить в соответствие смешанное число, то она читается тем же образом, как и это число. Так, если у нас есть дробь 56,00256,002, которой соответствует 56210005621000, мы читаем такую запись как «пятьдесят шесть целых две тысячных».
Что такое разряды в десятичных дробях
Значение цифры в записи десятичной дроби зависит от того, на каком месте она расположена (так же, как и в случае с натуральными числами). Так, в десятичной дроби 0,70,7 семерка – это десятые доли, в 0,00070,0007 – десятитысячные, а в дроби 70000,34570 000,345 она означает семь десятков тысяч целых единиц. Таким образом, в десятичных дробях тоже существует понятие разряда числа.
Названия разрядов, расположенных до запятой, аналогичны тем, что существуют в натуральных числах. Названия тех, что расположены после, наглядно представлены в таблице:
Разберем пример.
Пример 1
У нас есть десятичная дробь 43,09843,098. У нее в разряде десятков находится четверка, в разряде единиц тройка, в разряде десятых – ноль, сотых – 99, тысячных – 88.
Принято различать разряды десятичных дробей по старшинству. Если мы движемся по цифрам слева направо, то мы будем идти от старших разрядов к младшим. Получается, что сотни старше десятков, а миллионные доли младше, чем сотые. Если взять ту конечную десятичную дробь, которую мы приводили в качестве примера выше, то в ней старшим, или высшим будет разряд сотен, а младшим, или низшим – разряд 1010-тысячных.
Любую десятичную дробь можно разложить по отдельным разрядам, то есть представить в виде суммы. Это действие выполняется так же, как и для натуральных чисел.
Пример 2
Попробуем разложить дробь 56,045556,0455 по разрядам.
У нас получится:
56,0455=50+6+0,4+0,005+0,000556,0455 =50+6+0,4+0,005+0,0005
Если мы вспомним свойства сложения, то сможем представить эту дробь и в других видах, например, как сумму 56+0,045556+0,0455, или 56,0055+0,456,0055+0,4 и др.
Что такое конечные десятичные дроби
Все дроби, о которых мы говорили выше, являются конечными десятичными дробями. Это означает, что количество цифр, расположенное у них после запятой, является конечным. Выведем определение:
Определение 1
Конечные десятичные дроби представляют собой вид десятичных дробей, у которых после знака запятой стоит конечное число знаков.
Примерами таких дробей могут быть 0,367,3,7,55,102567958,231032,490,367, 3,7, 55,102567958, 231 032,49 и др.
Любую из этих дробей можно перевести либо в смешанное число (если значение их дробной части отличается от нуля), либо в обыкновенную дробь (при нулевой целой части). Тому, как это делается, мы посвятили отдельный материал. Здесь просто укажем пару примеров: так, конечную десятичную дробь5,63 5,63 мы можем привести к виду 563100563100, а 0,20,2 соответствует 210210 (или любая другая равная ей дробь, например, 420420 или 1515.)
Но обратный процесс, т.е. запись обыкновенной дроби в десятичном виде, может быть выполнен не всегда. Так, 513513 нельзя заменить на равную дробь с знаменателем 100,10100, 10 и др., значит, конечная десятичная дробь из нее не получится.
Основные виды бесконечных десятичных дробей: периодические и непериодические дроби
Мы указывали выше, что конечные дроби называются так потому, что после запятой у них стоит конечное число цифр. Однако оно вполне может быть и бесконечным, и в этом случае сами дроби также будут называться бесконечными.
Определение 2
Бесконечными десятичными дробями называются такие, у которых после запятой стоит бесконечное количество цифр.
Очевидно, что полностью такие числа записаны быть просто не могут, поэтому мы указываем лишь часть из них и дальше ставим многоточие. Это знак говорит о бесконечном продолжении последовательности знаков после запятой. Примерами бесконечных десятичных дробей могут быть0,143346732…,3,1415989032…,153,0245005…,2,66666666666…,69,748768152…. 0,143346732…, 3,1415989032…, 153,0245005…, 2,66666666666…, 69,748768152….и т.д.
Мы помогаем студентам с дипломными, курсовыми, контрольнымиУзнать стоимость
В «хвосте» такой дроби могут стоять не только случайные на первый взгляд последовательности цифр, но постоянное повторение одного и того же знака или группы знаков. Дроби с чередованием после десятичной запятой называются периодическими.
Определение 3
Периодическими десятичными дробями называются такие бесконечные десятичные дроби, у которых после запятой повторяется одна цифра или группа из нескольких цифр. Повторяющаяся часть называется периодом дроби.
К примеру, для дроби 3,444444….3,444444…. периодом будет цифра 44, а для 76,134134134134…76, 134134134134… – группа 134.134.
Какое же минимальное количество знаков допустимо оставить в записи периодической дроби? Для периодических дробей достаточно будет записать весь период один раз в круглых скобках. Так, дробь 3,444444….3,444444…. правильно будет записать как 3,(4)3,(4), а 76,134134134134…76, 134134134134…– как 76,(134)76,(134).
В целом записи с несколькими периодами в скобках будут иметь точно такой же смысл: к примеру, периодическая дробь 0,6777770,677777 – это то же самое, что 0,6(7)0,6(7) и 0,6(77)0,6(77) и т.д. Также допустимы записи вида 0,67777(7),0,67(7777)0,67777(7), 0,67(7777) и др.
Во избежание ошибок введем однообразие обозначений. Условимся записывать только один период (максимально короткую последовательность цифр), который стоит ближе всего к десятичной запятой, и заключать его в круглые скобки.
То есть для указанной выше дроби основной будем считать запись 0,6(7)0,6(7), а, например, в случае с дробью 8,91343434348,9134343434 будем писать 8,91(34)8,91(34).
Если знаменатель обыкновенной дроби содержит простые множители, не равные 55 и 22, то при переводе в десятичную запись из них получатся бесконечные дроби.
В принципе, любую конечную дробь мы можем записать в виде периодической. Для этого нам просто нужно добавить справа бесконечно много нулей. Как это выглядит в записи? Допустим, у нас есть конечная дробь 45,3245,32. В периодическом виде она будет выглядеть как 45,32(0)45,32(0). Это действие возможно потому, что добавление нулей справа в любую десятичную дробь дает нам в результате равную ей дробь.
Отдельно следует остановиться на периодических дробях с периодом 99, например, 4,89(9),31,6(9)4,89 (9), 31,6(9). Они являются альтернативной записью схожих дробей с периодом 00, поэтому их часто заменяют при письме именно дробями с нулевым периодом. При этом к значению следующего разряда добавляют единицу, а в круглых скобках указывают (0)(0). Равенство получившихся чисел легко проверить, представив их в виде обыкновенных дробей.
К примеру, дробь 8,31(9)8,31(9) можно заменить на соответствующую ей дробь 8,32(0)8,32(0). Или 4,(9)=5,(0)=54,(9)=5,(0)=5.
Бесконечные десятичные периодические дроби относятся к рациональным числам. Иначе говоря, любую периодическую дробь можно представить в виде обыкновенной, и наоборот.
Существуют и дроби, у которых после запятой бесконечно повторяющаяся последовательность отсутствует. В таком случае их называют непериодическими дробями.
Определение 4
К непериодическим десятичным дробям относятся те бесконечные десятичные дроби, в которых после запятой не содержится периода, т.е. повторяющейся группы цифр.
Иногда непериодические дроби выглядят очень похожими на периодические. Например, 9,03003000300003…9,03003000300003… на первый взгляд кажется имеющей период, однако подробный анализ знаков после запятой подтверждает, что это все же непериодическая дробь. С такими числами надо быть очень внимательным.
Непериодические дроби относятся к иррациональным числам. В обыкновенные дроби их не переводят.
Основные действия с десятичными дробями
С десятичными дробями можно производить следующие действия: сравнение, вычитание, сложение, деление и умножение. Разберем каждое из них отдельно.
Сравнение десятичных дробей может быть сведено к сравнению обыкновенных дробей, которые соответствуют исходным десятичным. Но бесконечные непериодические дроби свести к такому виду нельзя, а перевод десятичных дробей в обыкновенные зачастую является трудоемкой задачей. Как же быстро произвести действие сравнения, если нам нужно сделать это по ходу решения задачи? Удобно сравнивать десятичные дроби по разрядам таким же образом, как мы сравниваем натуральные числа. Этому методу мы посвятим отдельную статью.
Чтобы складывать одни десятичные дроби с другими, удобно использовать метод сложения столбиком, как для натуральных чисел. Чтобы складывать периодические десятичные дроби, необходимо предварительно заменить их обыкновенными и считать по стандартной схеме. Если же по условиям задачи нам надо сложить бесконечные непериодические дроби, то нужно перед этим округлить их до некоторого разряда, а потом уже складывать. Чем меньше разряд, до которого мы округляем, тем выше будет точность вычисления. Для вычитания, умножения и деления бесконечных дробей предварительное округление также необходимо.
Нахождение разности десятичных дробей обратно действию сложения. По сути, с помощью вычитания мы можем найти такое число, сумма которого с вычитаемой дробью даст нам уменьшаемую. Подробнее об этом расскажем в рамках отдельного материала.
Умножение десятичных дробей производится так же, как и для натуральных чисел. Для этого тоже подходит метод вычисления столбиком. Это действие с периодическими дробями мы опять же сводим к умножению обыкновенных дробей по уже изученным правилам. Бесконечные дроби, как мы помним, надо округлить перед подсчетами.
Процесс деления десятичных дробей является обратным процессу умножения. При решении задач мы также пользуемся подсчетами в столбик.
Положение десятичных дробей на оси координат
Можно установить точное соответствие между конечной десятичной дробью и точкой на оси координат. Выясним, как отметить точку на оси, которая будет точно соответствовать необходимой десятичной дроби.
Мы уже изучали, как построить точки, соответствующие обыкновенным дробям, а ведь десятичные дроби можно привести к такому виду. Например, обыкновенная дробь 14101410 – это то же самое, что и 1,41,4, поэтому соответствующая ей точка будет удалена от начала отсчета в положительном направлении ровно на такое же расстояние:
Можно обойтись без замены десятичной дроби на обыкновенную, а взять на основу метод разложения по разрядам. Так, если нам надо отметить точку, координата которой будет равна 15,400815,4008, то мы предварительно представим это число в виде суммы 15+0,4+,000815+0,4+,0008. Для начала отложим от начала отсчета 1515 целых единичных отрезков в положительном направлении, потом 44 десятых доли одного отрезка, а потом 88 десятитысячных долей одного отрезка. В итоге мы получим точку координат, которой соответствует дробь 15,400815,4008.
Для бесконечной десятичной дроби лучше пользоваться именно этим способом, поскольку он позволяет приблизиться к нужной точке сколь угодно близко. В некоторых случаях можно построить и точное соответствие бесконечной дроби на оси координат: так, √2=1,41421...2=1,41421…, и с этой дробью может быть соотнесена точка на координатном луче, удаленная от 00 на длину диагонали квадрата, сторона которого будет равна одному единичному отрезку.
Если мы находим не точку на оси, а десятичную дробь, соответствующую ей, то это действие называется десятичным измерением отрезка. Посмотрим, как правильно это сделать.
Допустим, нам нужно попасть от нуля в заданную точку на оси координат (или максимально приблизиться в случае с бесконечной дробью). Для этого мы постепенно откладываем единичные отрезки от начала координат, пока не попадем в нужную точку. После целых отрезков при необходимости отмеряем десятые, сотые и более мелкие доли, чтобы соответствие было максимально точным. В итоге мы получили десятичную дробь, которая соответствует заданной точке на оси координат.
Выше мы приводили рисунок с точкой MM. Посмотрите на него еще раз: чтобы попасть в эту точку, нужно отмерить от нуля один единичный отрезок и четыре десятых доли от его, поскольку этой точке соответствует десятичная дробь 1,41,4.
Если мы не можем попасть в точку в процессе десятичного измерения, то значит, что ей соответствует бесконечная десятичная дробь.
Конечные и бесконечные десятичные дроби
Содержание
Десятичные дроби делятся на три следующих класса: конечные десятичные дроби, бесконечные периодические десятичные дроби и бесконечные непериодические десятичные дроби.
Конечные десятичные дроби
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Конечной десятичной дробью (десятичной дробью) называют дробь или смешанное число, имеющее знаменатель 10, 100, 1000, 10000 и т.д.
Например,
К десятичным дробям относят также и такие дроби, которые можно привести к дробям, имеющим знаменатель 10, 100, 1000, 10000 и т.д., с помощью основного свойства дробей.
Например,
УТВЕРЖДЕНИЕ. Несократимая простая дробь или несократимое смешанное нецелое число являются конечной десятичной дробью тогда и только тогда, когда разложение их знаменателей на простые множители содержит в качестве множителей лишь числа 2 и 5 , причем в произвольных степенях.
Для десятичных дробей существует специальный способ записи, использующий запятую. Слева от запятой записывается целая часть дроби, а справа – числитель дробной части, перед которым дописывается такое количество нулей, чтобы число цифр после запятой было равно числу нулей в знаменателе десятичной дроби.
Например,
Заметим, что десятичная дробь не изменится, если приписать несколько нулей справа или слева от неё.
Например,
3,14 = 3,140 =
= 3,1400 = 003,14 .
Цифры, стоящие перед запятой (слева от запятой) в десятичной записи конечной десятичной дроби, образуют число, которое называют целой частью десятичной дроби.
Цифры, стоящие после запятой (справа от запятой) в десятичной записи конечной десятичной дроби, называют десятичными знаками.
В конечной десятичной дроби конечное число десятичных знаков. Десятичные знаки формируют дробную часть десятичной дроби.
Умножение и деление десятичных дробей на 10, 100, 1000 и т.д.
Для того, чтобы умножить десятичную дробь на 10, 100, 1000, 10000 и т.д., достаточно перенести запятую вправо на 1, 2, 3, 4 и т.д. десятичных знаков соответственно.
Для того, чтобы разделить десятичную дробь на 10, 100, 1000, 10000 и т.д., достаточно перенести запятую влево на 1, 2, 3, 4 и т.д. десятичных знаков соответственно.
Например,
Обращение конечной десятичной дроби в простую дробь
Обращение конечной десятичной дроби в простую дробь осуществляется очень просто, например,
