Давайте разберем пару примеров:
Возьмем число 3. Разобьем его на сумму единиц, массив выглядит так [1,1,1].
Далее переместим последнюю единицу на первом место ( в данном случае перемещение = сложению ), получится [2,1,0], далее сделаем тоже самое со следующей единицей справа, получаем [3, 0, 0]. Так мы получили все комбинации цифр, которые в сумме дают 3. Мы не учитываем перестановки [2, 1, 0] и [1, 2, 0]
Теперь сделаем тоже самое с числом 5, получим такую последовательность массивов.
[1,1,1,1,1]
[2,1,1,1,0]
[2,2,1,0,0]
[3,2,0,0,0]
[4,1,0,0,0]
[5,0,0,0,0]
Механизм тот же самый за исключением, что когда мы встречаем не 1, то вычитаем из этого числа 1 и переносим вправо ( на самом деле мы тоже самое делаем с 1, поэтому получаются нули в конце массива )
Еще один пример с числом побольше, 8
[1,1,1,1,1,1,1,1]
[2,1,1,1,1,1,1,0]
[2,2,1,1,1,1,0,0]
[2,2,2,1,1,0,0,0]
[2,2,2,2,0,0,0,0]
[3,2,2,1,0,0,0,0]
[3,3,2,0,0,0,0,0]
[4,3,1,0,0,0,0,0]
[4,4,0,0,0,0,0,0]
[5,3,0...]
[6,2,0...]
[7,1,0...]
Думаю суть вы уловили: на каждой итерации, мы берем самый крайний правый ненулевой элемент, отнимаем от него единицу и прибавляем к левому элементу, которые тоже считается на итерации
Вот код на js:
const getNumberTerms = (n) => {
if(!n) return []
const result = [];
const terms = (new Array(n)).fill(1);
result.push([...terms]);
let willItterate = true;
let last = n - 1;
let current = 0;
let minCurrent = 0
while(willItterate) {
// перемещаем единицу
terms[current] += 1;
terms[last] -= 1;
// добавляем массив в результат
result.push([...terms]);
// если элемент равен 9, то сдвигаем минимально значение курсора вправо
if(terms[current] === 9) minCurrent++
// сдвигаем правый курсор вправо
current++;
// если самый левый элемент равен нулю, то сдвигаем левый курсор в лево
if(terms[last] === 0) last--;
// если правый курсор зашел на левый, значит, нужно сбросить его на минимальное значение
if(current >= last) current = minCurrent;
if(last === minCurrent) willItterate = false;
}
return result;
};
// этот код для презентации
const output = document.getElementById('output');
document.getElementById('input').onchange = function () {
const result = getNumberTerms(+this.value);
output.innerHTML = ''
result.forEach(el => {
output.innerHTML += `<br>${JSON.stringify(el)}`
})
}<input id='input'>
<pre id='output'>
</pre>Сложность основного алгоритма, вроде как линейная ( не проверял точно )
Дальше с ответом можно делать, что угодно. Не нравятся 0? Можно убрать их, пройдя циклом ( правда добавится квадратичная сложность ). Нужен массив определенной длины? Допишите нули в конце, либо возьмите первые N элементов
Содержание материала
- Предварительный просмотр:
- Видео
- Нахождение неизвестного множителя
- Поиск вычитаемого
- Правила нахождения уменьшаемого
- Свойства сложения
- Общие правила
- Другие методы
- Сложение в столбик многозначных чисел
Предварительный просмотр:
Выучи названия компонентов действий и правила нахождения неизвестных компонентов:
- Сложение: слагаемое, слагаемое, сумма. Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое.
- Вычитание: уменьшаемое, вычитаемое, разность. Чтобы найти уменьшаемое, нужно к вычитаемому прибавить разность. Чтобы найти вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность.
- Умножение: множитель, множитель, произведение. Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на известный множитель.
- Деление: делимое, делитель, частное. Чтобы найти делимое, нужно делитель умножить на частное. Чтобы найти делитель, нужно делимое разделить на частное.
Выучи названия компонентов действий и правила нахождения неизвестных компонентов:
- Сложение: слагаемое, слагаемое, сумма. Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое.
- Вычитание: уменьшаемое, вычитаемое, разность. Чтобы найти уменьшаемое, нужно к вычитаемому прибавить разность. Чтобы найти вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность.
- Умножение: множитель, множитель, произведение. Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на известный множитель.
- Деление: делимое, делитель, частное. Чтобы найти делимое, нужно делитель умножить на частное. Чтобы найти делитель, нужно делимое разделить на частное.
Видео
Нахождение неизвестного множителя
Посмотрим на два уравнения: x·2=20 и 3·x=12. В обоих нам известно значение произведения и один из множителей, необходимо найти второй. Для этого нам надо воспользоваться другим правилом.
Для нахождения неизвестного множителя нужно выполнить деление произведения на известный множитель.
Данное правило базируется на смысле, который является обратным смыслу умножения. Между умножением и делением есть следующая связь: a·b=c при a и b, не равных , c: a=b, c: b=c и наоборот.
Вычислим неизвестный множитель в первом уравнении, разделив известное частное 20 на известный множитель 2. Проводим деление натуральных чисел и получаем 10. Запишем последовательность равенств:
x·2=20x=20:2x=10.
Подставляем десятку в исходное равенство и получаем, что 2·10=20. Значение неизвестного множителя было выполнено правильно.
Уточним, что в случае, если один из множителей нулевой, данное правило применять нельзя. Так, уравнение x·=11 с его помощью решить мы не можем. Эта запись не имеет смысла, поскольку для решения надо разделить 11 на , а деление на нуль не определено. Подробнее о подобных случаях мы рассказали в статье, посвященной линейным уравнениям.
Когда мы применяем это правило, мы, по сути, делим обе части уравнения на другой множитель, отличный от . Существует отдельное правило, согласно которому можно проводить такое деление, и оно не повлияет на корни уравнения, и то, о чем мы писали в этом пункте, с ним полностью согласовано.
Поиск вычитаемого
Нахождение вычитаемого — это такой же простой процесс, как и поиск уменьшаемого. Уравнение может иметь следующий вид: 7-x=3. Мы имеем разность — результат вычитания, и уменьшаемое число. Формулировка правила: чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо из уменьшаемого вычесть разность.
Так, если мы вычитаем из одного числа неизвестное число и получаем определённый результат (разность), значит, для поиска неизвестного вычитаемого вычтем из известного числа разность. В нашем примере x=7−3, результат равен 4. Для проверки вычтем 4 из 7, и получим 3 — решение верное. Ещё один вариант проверки — сложить 3 и 4. Так как сумма равна 7, решение правильное.
Правила нахождения уменьшаемого
При поиске уменьшаемого уравнение может выглядеть следующим образом: x-2=4. Мы имеем разность — результат вычитания и число, которое вычитаем. Необходимо найти уменьшаемое — самое большое число в примере. Формулировка правила: чтобы найти неизвестное уменьшаемое, необходимо к разности прибавить вычитаемое.
Так, если мы вычитаем из неизвестного числа другое число и получаем результат, известный нам, то для поиска уменьшаемого необходимо сложить разность и вычитаемое. Простейший пример: дома были конфеты. Их количество мы не знаем. После того как Дима съел 2 конфеты, их осталось 4. Вопрос: сколько их всего было изначально? Для того чтобы узнать, прибавим 2 к 4 и получим результат — было 6 конфет. Для проверки вычтем 2 из 6. Получим результат 4 — решение верное.
Свойства сложения
Сложение — это арифметическое действие, в котором единицы двух чисел объединяются в одно новое число
Для записи сложения используют знак «+» (плюс), который ставят между слагаемыми.
Слагаемые — это числа, единицы которых складываются.
Сумма — это число, которое получается в результате сложения.
Рассмотрим пример 2 + 5 = 7, в котором:
При этом саму запись (2 + 5) можно тоже назвать суммой.
Сложение двух чисел можно проверить вычитанием. Для этого вычитаем из суммы одно из слагаемых. Если разность окажется равной другому слагаемому — сложение выполнено верно.
Впервые мы сталкиваемся со свойствами сложения во 2 классе. С каждым годом задания усложняются, и появляются новые правила и законы. Рассмотрим свойства сложения для 4 класса.
Общие правила
Для того чтобы гораздо быстрее решать элементарные уравнения, необходимо знать некоторые правила математики и логики. Здесь даже навыки арифметики не имеют такого решающего значения, как понимание того, что именно необходимо находить.
В случае с неизвестным слагаемым оно находится очень просто. От перестановки слагаемых сумма не меняется. То есть совершенно неважно, какой вид имеет уравнение x+2=6, или 2+x=6. В любом случае компонент x будет равен 4.
Дело в том, что уравнения с одним неизвестным предусмотрены школьной программой третьего класса. А ученики могут путаться и испытывать трудности в их решении, не зная этого правила.
Первое, с чего стоит начинать развитие навыка решения — это многократное повторение. Достаточно решать 5—10 уравнений в день с одним неизвестным компонентом, и уже через несколько дней ученик будет справляться с подобными заданиями гораздо быстрее. И только потом можно переходить к более сложным заданиям.
А также для улучшения понимания необходимо решать обратные уравнения. Что это значит? Вычитание — процесс, обратный сложению. То есть при сложении 3 и 4 сумма равна 7. А при вычитании 4 из 7 разность равна 3. В первом уравнении можно искать неизвестные слагаемые. При этом решать его с теми же числами, но на поиск уменьшаемого или вычитаемого.
Решение подобных уравнений точно не навредит ученику, это лишь ускорит процесс формирования навыка. При проверке и решении обратных уравнений в голове откладывается взаимосвязь между всеми компонентами примеров, а их решение практически доводит до автоматизма. Главное — постоянно тренировать этот навык.
Другие методы
Правило, которое позволяет быстро найти неизвестное слагаемое, довольно простое. Однако для того, чтобы облегчить его понимание, из него можно вывести правила, связанные с вычитанием.
Так, в примерах со сложением мы имеем два слагаемых и сумму: 3+5=8. Здесь 3 и 5 — слагаемые, а 8 — сумма. А в примерах с вычитанием мы имеем:
- Уменьшаемое.
- Вычитаемое.
- Разность.
Например, 7 — 4=3. В этом случае уменьшаемое — 7, вычитаемое — 3, а разность — 4. Уменьшаемое и вычитаемое также могут быть неизвестными. И крайне важно знать, как их вычислять.
Сложение в столбик многозначных чисел
Сложение в столбик – это способ нахождения суммы чисел путем их записи друг под другом таким образом, чтобы соответствующие разряды разных чисел находились на одной вертикали (один под другим).
Итак, допустим, что нам нужно найти сумму : 5728+803
Теги
Памятка по нахождению неизвестных компонентов действий.
Скачать:
Предварительный просмотр:
Выучи названия компонентов действий и правила нахождения неизвестных компонентов:
- Сложение: слагаемое, слагаемое, сумма. Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое.
- Вычитание: уменьшаемое, вычитаемое, разность. Чтобы найти уменьшаемое, нужно к вычитаемому прибавить разность. Чтобы найти вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность.
- Умножение: множитель, множитель, произведение. Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на известный множитель.
- Деление: делимое, делитель, частное. Чтобы найти делимое, нужно делитель умножить на частное. Чтобы найти делитель, нужно делимое разделить на частное.
Выучи названия компонентов действий и правила нахождения неизвестных компонентов:
- Сложение: слагаемое, слагаемое, сумма. Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое.
- Вычитание: уменьшаемое, вычитаемое, разность. Чтобы найти уменьшаемое, нужно к вычитаемому прибавить разность. Чтобы найти вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность.
- Умножение: множитель, множитель, произведение. Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на известный множитель.
- Деление: делимое, делитель, частное. Чтобы найти делимое, нужно делитель умножить на частное. Чтобы найти делитель, нужно делимое разделить на частное.
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
- Мне нравится
Нахождение неизвестного слагаемого
- Задачи на неизвестное слагаемое
Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из суммы вычесть известное слагаемое.
Пример:
| 3 | + | ? | = | 7 |
| Первое слагаемое |
Второе слагаемое |
Сумма |
|---|
Для нахождения второго слагаемого, вычтем из суммы первое слагаемое:
| 7 | — | 3 | = | 4 |
| Сумма | Первое слагаемое |
Второе слагаемое |
|---|
Чтобы узнать правильно ли было найдено второе слагаемое, надо сложить первое слагаемое со вторым. Если получится данная сумма, то действие было выполнено верно:
3 + 4 = 7.
Задачи на неизвестное слагаемое
Задача 1. На столе лежит 9 карандашей: зелёные и 4 синих. Сколько зелёных карандашей лежит на столе?
Решение:
9 — 4 = 5.
Ответ: 5 зелёных карандашей лежит на столе.
Задача 2. За два дня Маша прочитала 15 страниц. За первый день она прочитала 9 страниц. Сколько страниц она прочитала за второй день?
Решение:
15 — 9 = 6.
Ответ: 6 страниц.
Задача 3. В парке рабочие сажали деревья — берёзы и дубы. Они посадили 4 ряда берёз, по 3 дерева в каждом ряду. Всего в парке посадили 25 деревьев. Сколько дубов посадили рабочие?
Решение: Первым действием надо посчитать, сколько берёз посадили рабочие. Для этого нужно 3 берёзы умножить на 4, потому что по 3 берёзы посажены в каждом из 4 рядов:
1) 3 · 4 = 12 (берёз).
Вторым действием нужно из общего количества деревьев вычесть количество берёз:
2) 25 — 12 = 13 (дубов).
В результате вычитания мы узнали, сколько дубов посадили рабочие в парке.
Ответ: 13 дубов.
Правило нахождения неизвестного слагаемого используется для проверки сложения вычитанием.
С задачами на нахождение слагаемых по сумме и разности знакомятся дети в четвертом классе практически во всех программах, за исключением «Перспективы». Эта, как обычно, вперед батьки в пекло, и, перескакивая задачи на деление уже во втором классе предлагает ребятам решить подобную задачку. Конечно же, почти никто ее решить не может, потому что никто ничего подобного детям не объяснял. На этом знакомство второклашек с задачами на нахождение слагаемых по сумме и разности заканчивается. Хотя, в принципе, и второклассник, выучивший и уяснивший деление, уже готов к решению такой задачи. Главное — правильно объяснить, как ее решать, дать алгоритм.
В задачах такого вида известна сумма чисел и их разность, причем разность выражена словами «больше на» или «меньше на».
Алгоритм
Составим алгоритм решения подобных задач. Слайд №1
Слайд №2 Сравнение предложений.
У Миши и Даши а значков. Что обозначает а? (сумму)
Предложите ребенку 2 полоски бумаги, одна длиннее другой, они помогут составить задачу и узнать её секрет. Посмотрите на полоски. Какой вывод делаете? Одна больше, чем другая. Значит у кого-то значков больше.
Можете ли на полоске показать эту разницу? Как? Закрасьте разницу карандашом.
Расскажи условие по схеме. Назови вопрос. Получилась ли задача нужного вида? Cумма обозначена? Да. Разность? Да. Что будем узнавать? Слагаемые.
Слайд № 3
А можно ли уравнять эти полоски? Как это записать? а-n
У нас получились две равные части. А чему равна одна? (а-n) : 2 Чьи это значки? (Даши)
А как теперь узнать количество значков у Миши? (а — n) : 2 + n
Аналогично проводиться работа по составлению алгоритма второго способа решения. Слайд №4. (а + n) : 2 — n
СКАЧАТЬ ПРЕЗЕНТАЦИЮ .PPT >>
Задачи с решением и объяснением
Самая простая задача на нахождение слагаемых по сумме и разности сравнивает обычные числа.
Я задумала два числа. Их сумма 15, а разность 3. Какие числа я задумала?
Прочитайте задачу. Нарисуйте схему. Докажите, что эта задача нужного нам вида. Решите задачу.
Решение. Сумма чисел нам известна — это 15. Так же нам известна разность чисел, значит одно число больше другого на 3. Рисуем схему:
Первое число больше, поэтому первый отрезок длиннее.
Уравниваем части: если эту тройку убрать из общей суммы, останется 2 одинаковых (меньших) числа. 15-3=12
Чтобы узнать одно число, нужно поделить 12 на 2. 12:2=6 — это меньшее число. Большее число на 3 больше меньшего. 6+3=9 — второе число.
Записываем уравнение (15-3):2=6 первое число, (15-3):2+3=9 второе число.
Проверим, правильно ли решили: 9+6=15 сумма равна 15, так и есть, решено правильно.
Записываем ответ. Ответ: числа 6 и 9.
Второй способ. Рисуем схему:
Уравниваем части. Если к меньшему числу добавить еще 3, то эти числа будут равны. Сумма этих двух одинаковых (бОльших) чисел тоже увеличится на 3.
15+3=18 Найдем одну часть. 18:2=9 это большее число. Меньшее число меньше на 3. 9-3=6.
(15+3):2=9, (15+3):2-3=6
Ответ: числа 6 и 9.
—
У девочки на полках стояло 36 горшочков с цветами. Причём, на второй полке было на 6 горшочков меньше, чем на первой. Сколько горшочков стояло на каждой полке у девочки?
Задача тоже решается двумя способами. Итак, нам известно, что на двух полках стояло 36 горшочков, причём на второй полке было горшочков на 6 меньше. Покажем это на схеме.
Оранжевым отрезком обозначим количество горшочков на первой полке, а фиолетовым отрезком – количество горшочков на второй полке. Фиолетовый отрезок короче, т.к. на второй полке горшочков на 6 меньше.
Уравняем количество горшочков, убрав 6 с первой полки.
1) 36 – 6 = 30 горшочков с цветами, если бы их было поровну.
И, значит, мы можем узнать, сколько горшочков стоит на второй полке.
2) 30 : 2=15 горшочков с цветами стоит на второй полке.
Вернем 6 горшочков на первую полку. И теперь можем узнать, сколько горшочков стоит на первой полке.
3) 15 + 6=21 горшочек с цветами стоит на первой полке
Ответ: 21 горшочек с цветами на первой полке, 15 горшочков на второй полке.
Второй способ. Уравняем количество горшочков, мысленно добавив шесть на вторую полку.
В математической записи это выглядит так:
1) 36 + 6=42 горшочка с цветами.
Теперь мы можем узнать, сколько горшочков стояло бы на каждой полке, если бы их было поровну.
2) 42 : 2=21 горшочек стоял бы на каждой полке, если бы их было поровну.
Мы знаем, что на второй полке горшочков на 6 меньше. Значит 21 горшочек с цветами стоит на первой полке. А на второй:
3) 21 – 6=15 горшочков на второй полке.
Ответ: 21 горшочек с цветами на первой полке, 15 горшочков на второй полке.
—
Папа купил в магазине конфетку и леденец на палочке за 13 рублей. Леденец дороже конфетки на 3 рубля. Сколько стоит конфетка, а сколько леденец?
Решение. Сумма нам известна — это 13 р. Разность тоже известна — 3 р. Уравниваем части. Если из денег на леденец забрать 3 рубля, монет хватит только на конфетку. Значит если из общей стоимости убрать 3 рубля, останется денег на 2 одинаковых конфетки. 13-3=10 (р) останется на 2 конфетки. Чтобы узнать, сколько стоит одна конфетка (одна часть), поделим 10 на 2, = 5 (р). Леденец на 3 рубля дороже, значит он стоит 5+3=8 (р).
(13-3):2=5 (р), (13-3):2+3=8 (р)
Второй способ. Уравниваем части. Если добавить к общей сумме еще 3 рубля, то денег хватит на 2 леденца. 13+3=16 (р) будут стоить 2 леденца. Чтобы узнать, сколько стоит один леденец, поделим на 2. 16:2=8 (р) стоит один леденец. Конфетка дешевле на 3 рубля. 8-3=5 (р) стоит конфетка.
(13+3):2=8, (13+3):2-3=5 (р)
—
У двух белок 45 орехов, причем у второй белки на 5 орехов больше. Сколько орехов у каждой белки?
Рисуем схему.
Уравниваем части (из суммы вычитаем разность)
1) 45-5=40 (ор.) — если бы у обеих белок было орехов поровну;
Результат первого действия делим на 2 (количество белок)
2) 40 : 2=20 (ор.) — у первой белки;
К результату второго действия прибавляем разность.
3) 20+5=25 (ор.) — у второй белки.
Ответ: 20 орехов, 25 орехов.
Не забудьте, что если части неравные, а мы знаем только их общее количество и насколько одна часть больше или меньше другой, то сначала мы уравняем части, добавив или убрав разницу между ними. Потом разделим полученное число на количество частей, а после этого уберём то, что мысленно добавили или добавим то, что мысленно убирали.
Задачи можно усложнить, использовав не 2 предмета, а 3, например:
Папа купил в магазине конфету и 2 леденца, заплатив за покупку 21 рубль. Леденец был дороже конфеты на 3 рубля. Сколько стоит леденец, а сколько конфета?
И если ребенок сообразит, что, приравнивая части, отнимать от общей суммы тут нужно не 3, а 6 (за 2 леденца), а делить на 3 (3 предмета), то можете считать, что он отлично понимает, как решается этот тип задач.
Задачи для закрепления материала по теме нахождение слагаемых по сумме и разности
Мама старше дочери на 22 года, маме и дочери вместе 74 года. Сколько лет дочери и сколько маме?
74-22=52 (г)
52:2=26 (лет) — дочери
26+22=48 (лет) — маме
А теперь сами:
Бутылка масла весит 900 г. Масло на 100 г тяжелее бутылки. Сколько весит пустая бутылка? (400 г)
Собака весит на 8 кг больше кошки, а вместе они весят 14 кг. Сколько весит кошка, а сколько собака? (собака 11, кошка 3)
Корабль и самолет преодолели вместе 120 км. При этом самолет пролетел на 80 км больше, чем проплыл корабль. Сколько км проплыл корабль, а сколько самолет? (20,100)
А теперь потренируйтесь. Сами придумайте задачу на нахождении двух чисел по сумме и разности, как в примерах выше. Убедитесь, что числовые данные для задачи подобраны хорошо и она имеет решение.