Начиная с определений импульса и объяснения законов сохранения, в статье показывается способ решения ряда задач, в которых важно только начальное и конечное состояние (но, например, ничего нельзя сказать про время движения), в частности, задач на столкновение тел.
Введение
С помощью законов сохранения многие механические задачи решаются намного проще, чем при использовании динамических уравнений движений. С другой стороны, законами сохранения можно пользоваться только в тех случаях, когда необходимо, зная начальное состояние тела, найти конечное. При данном описании системы невозможно узнать время движения тела и все промежуточные состояния.
Для лучшего понимания темы различных соударений давайте еще раз повторим теорию по законам сохранения в механике.
Самыми распространенными законами сохранения является закон сохранения импульса и энергии.
Импульс
Определение. Импульсом p тела (материальной точки) называется векторная физическая величина, равная произведению массы m на скорость (здесь и далее жирным шрифтом выделены векторные величины).
p = mv.
Изменение импульса можно представить через второй закон Ньютона:
Δp = mΔv = FΔt
Если рассмотреть систему материальных точек, которые движутся с разными скоростями, то импульс задается следующим выражением:
p = m₁v₁+ m₂v₂ + …
Закон сохранения импульса
При отсутствии внешних сил импульс системы материальных точек сохраняется.
Замечание 1. Отсутствие внешних сил означает, что система замкнута.
Замечание 2. Часто в задачах есть внешние силы, но при этом законом сохранения импульса в каком-то виде пользоваться можно.
- Внешние силы есть, но они взаимно скомпенсированы (например сила тяжести и сила нормальной реакции опоры при движении по гладкой поверхности).
- Внешние силы не имеют проекции на какую-то заданную ось (например, ось ОX), тогда импульс может сохраняться вдоль этого направления.
- Если в некоторый момент времени внутренние силы много больше внешних, тогда импульс системы сохраняется (например, разрыв снаряда)
Так как задачи только на закон сохранения достаточно однообразные, то рассмотрим и закон сохранения энергии.
Работа и энергия
Любая механическая система характеризуется скалярной величиной E — энергией, которая однозначно определяет состояние системы. Зная энергию системы в двух состояниях, можно найти работу внешних сил, совершенную над системой:
ΔE = E₂ – E₁ = A.
Механическая работа
Определение. Если на тело, движущееся по прямой, действует постоянная сила F, то механической работой A этой силы на перемещение s называется скалярное произведение
A = (F, s) = |F||s| · cos(α) = Fs · cos(α),
где α — угол между векторами F и s.
Определение. Средняя мощность <P> силы F — это отношение работы А, совершенной силой F за время t, к интервалу времени t.
<P> = A / t.
Мощность также можно переписать так: <P> = Fv · cos(α).
Консервативные и диссипативные силы
Определение.Консервативные силы (потенциальные силы) —это силы, работа которых при перемещении из состояния 1 в состояние 2 не зависит от траектории, а зависит только от начального и конечного положения точек 1 и 2.
Примеры.Работа силы тяжести или электростатических сил не зависит от траектории, следовательно, это консервативные силы.
К диссипативным силам относятся различные виды силы трения.
Замечание. Работа диссипативных сил всегда отрицательна. Следовательно, они уменьшают механическую энергию тела, переводя ее в тепло.
Кинетическая и потенциальная энергия
Определение. Кинетическая энергия тела равна произведению массы тела на квадрат скорости, деленное на два:
Eкин = mv² / 2.
Так как работа консервативных сил зависит только от начального и конечного положения, то для нее можно определить потенциальную энергию.
Потенциальная энергия для силы тяжести определяется следующим выражением:
Eпот = mgh.
Замечание. Для силы тяжести можно легко вывести потенциальную энергию, зная работу силы притяжения.
Другие примеры.Зная силу растяжения или сжатия пружины, легко посчитать потенциальную энергию сжатой (растянутой) пружины:
Eпот = k(x₂ – x₁)² / 2.
Закон сохранения и изменения энергии
Формулировка. Механическая энергия в замкнутой системе сохраняется при отсутствии диссипативных сил:
ΔE = 0
Замечание 1. Механической энергией называется сумма потенциальной и кинетической энергии.
E = Eкин + Епот.
Замечание 2.При наличии консервативных сил может меняться скорость тела (системы тел) и их общая кинетическая энергия, но это будет происходить за счет перехода кинетической энергии в потенциальную.
Формулировка. Изменение механической энергии под действием внешних и внутренних неконсервативных сил равно суммарной работе этих сил А:
ΔE = A.
Теорема об изменении кинетической энергии
Формулировка. Работа всех сил (консервативных и диссипативных) равна изменению кинетической энергии системы.
∑A = ΔEкин.
Замечание. С помощью этой теоремы легко решать многие задачи. Например, рассмотрим задачу о нахождении тормозного пути автомобиля, движущегося со скоростью v = 60 км/ч по дороге с коэффициетом трения μ = 0,5.
Работа силы трения:
A = –μN = –μmgS,
где N — сила нормальной реакции, S — тормозной путь автомобиля.
Изменение кинетической энергии:
ΔE = –mv² / 2.
По теореме о изменении кинетической энергии:
–mv² / 2 = –μmgS.
S = v² / 2gμ = 29 м
Замечание.Скорость необходимо перевести в СИ.
Соударения
Определение. Центральный удар — это соударение 2 тел , при котором скорости каждого из тел направлены вдоль линии, соединяющей центры обоих тел.
Замечание. Если один из шаров покоится, то скорость второго тела должна быть направлена вдоль линии, соединяющей центры тел.
При решении задач на столкновение двух и более тел надо привыкнуть к следующим формулировкам:
- Абсолютно упругий удар (упругий удар) — это тип соударения, при котором выполняется закон сохранения энергии и закон сохранения импульса. Часто этот тип соударения применим к железным шарикам.
- Неупругий удар — это удар, при котором выполняется закон сохранения импульса и закон изменения механической энергии (так как теряется часть энергии при ударе).
- Абсолютно неупругий удар — это удар, при котором два тела продолжают двигаться как единое целое. При этом столкновении выполняется закон сохранения импульса и закон изменения механической энергии.
Замечание. Как мы видим, для решения задач нужно сначала записать соответствующие законы сохранения энергии и импульса или изменения энергии. Далее необходимо решить получившуюся систему уравнений.
Задача 1
Железный шар массы m = 500 г движется по гладкой горизонтальной поверхности со скоростью 10 м/с и сталкивается с неподвижным восковым шаром, имеющим массу М = 200 г, после чего оба шара движутся вместе. Найдите количество теплоты, выделившееся при ударе.
Решение. В этой задаче удар абсолютно неупругий, поэтому выполняется закон сохранения импульса (ЗСИ) и изменения энергии.
Запишем ЗСИ на ось OX:
mv = (m + M)V. (1)
Для того, чтобы найти выделившуюся энергию при соударении, необходимо записать закон изменения энергии (ЗИЭ)
ΔE = mv² / 2 — (m + M)V² / 2. (2)
Далее остается только математическая часть задачи — решить систему уравнений (1) и (2). Из (1) найдем V:
V = mv / (M + m).
Подставив в (2), получим:
Замечание. Такую задачу невозможно решить для неупругого удара, при котором тела не слипаются друг с другом, так как нам будет неизвестны скорости двух разлетевшихся тел.
Список литературы
- Белолипецкий С. Н., Еркович О. С., Казаковцева В. А., Цвецинская Т. С. Задачник по физике. М., 2005.
- Черноуцан А. Учебно-справочное пособие для старшеклассников и абитуриентов. М., 2000.
Импульс тела — векторная физическая величина, обозначаемая как p и равная произведению массы тела на его скорость:
p = mv
Единица измерения импульса — килограмм на метр в секунду (кг∙м/с).
Направление импульса всегда совпадает с направлением скорости (p↑↓v), так как масса — всегда положительная величина (m > 0).
Пример №1. Определить импульс пули массой 10 г, вылетевшей со скоростью 300 м/с. Сопротивлением воздуха пренебречь.
Импульс пули есть произведение массы на ускорение. Прежде чем выполнить вычисления, нужно перевести единицы измерения в СИ:
10 г = 0,01 кг
Импульс равен:
p = mv = 0,01∙300 = 3 (кг∙м/с)
Относительный импульс
Определение
Относительный импульс — векторная физическая величина, равная произведению массы тела на относительную скорость:
p1отн2 = m1v1отн2 = m1(v1 – v2)
p1отн2 — импульс первого тела относительно второго, m1 — масса первого тела, v1отн2 — скорость первого тела относительно второго, v1 и v2 — скорости первого и второго тела соответственно в одной и той же системе отсчета.
Пример №2. Два автомобиля одинаковой массы (15 т) едут друг за другом по одной прямой. Первый — со скоростью 20 м/с, второй — со скоростью 15 м/с относительно Земли. Вычислите импульс первого автомобиля в системе отсчета, связанной со вторым автомобилем.
Сначала переведем единицы измерения в СИ:
15 т = 15000 кг
p1отн2 = m1(v1 – v2) = 15000(20 – 15) = 75000 (кг∙м/с) = 75∙103 (кг∙м/с)
Изменение импульса тела
ОпределениеИзменение импульса тела — векторная разность между конечным и начальным импульсом тела:
∆p = p – p0 = p + (– p0)
∆p — изменение импульса тела, p — конечный импульс тела, p0 — начальный импульс тела
Частные случаи определения изменения импульса тела
Абсолютно неупругий удар |
|
|
|
Конечная скорость после удара:
v = 0. Конечный импульс тела: p = 0. Модуль изменения импульса тела равен модулю его начального импульса: ∆p = p0. |
Абсолютно упругий удар |
|
|
|
Модули конечной и начальной скоростей равны: v = v0. Модули конечного и начального импульсов равны: p = p0. Модуль изменения импульса тела равен удвоенному модулю начального (конечного) импульса: ∆p = 2p0 = 2p. |
Пуля пробила стенку |
|
|
|
Модуль изменения импульса тела равен разности модулей начального и конечного импульсов: ∆p = p0 – p = m(v0 – v) |
Радиус-вектор тела повернул на 180 градусов |
|
|
|
Модуль изменения импульса тела равен удвоенному модулю начального (конечного) импульса: ∆p = 2p0 = 2p = 2mv0 |
Абсолютно упругое отражение от горизонтальной поверхности под углом α к нормали |
|
|
|
Модули конечной и начальной скоростей равны: v = v0. Модули конечного и начального импульсов равны: p = p0. Угол падения равен углу отражения: α = α’ Модуль изменения импульса в этом случае определяется формулой:
|
Пример №3. Шайба абсолютно упруго ударилась о неподвижную стену. При этом направление движения шайбы изменилось на 90 градусов. Импульс шайбы перед ударом равен 1 кг∙м/с. Чему равен модуль изменения импульса шайбы в результате удара? Ответ округлите до десятых.
В данном случае 90 градусов и есть 2α (угол между векторами начального и конечного импульсов), в то время как α — это угол между вектором импульса и нормалью. Учтем, что при абсолютно упругом отражении модули конечного и начального импульсов равны.
Вычисляем:
Второй закон Ньютона в импульсном виде
Второй закон Ньютона говорит о том, что ускорение тела прямо пропорционально силе, действующей на него. Записывается он так:
Но ускорение определяется отношением разности конечной и начальной скоростей ко времени, в течение которого менялась скорость:
Подставим это выражение во второй закон Ньютона и получим:
Или:
F∆t — импульс силы, ∆p — изменение импульса тела
Пример №4. Тело движется по прямой в одном направлении. Под действием постоянной силы за 3 с импульс тела изменился на 6 кг∙м/с. Каков модуль силы?
Из формулы импульса силы выразим модуль силы:
Реактивное движение
Определение
Реактивное движение — это движение, которое происходит за счет отделения от тела с некоторой скоростью какой-либо его части. В отличие от других видов движения реактивное движение позволяет телу двигаться и тормозить в безвоздушном пространстве, достигать первой космической скорости.
Ракета представляет собой систему двух тел: оболочки массой M и топлива массой m. v — скорость выброса раскаленных газов. ∆m/∆t — расход реактивного топлива, V — скорость ракеты.
Второй закон Ньютона в импульсном виде:
Реактивная сила:
Второй закон Ньютона для ракеты:
Пример №5. Космический корабль массой 3000 кг начал разгон в межпланетном пространстве, включив реактивный двигатель. Из сопла двигателя каждую секунду выбрасывается 3 кг горючего газа со скоростью 600 м/с. Какой будет скорость корабля через 20 секунд после разгона? Изменением массы корабля во время разгона пренебречь. Принять, что поле тяготения, в котором движется корабль, пренебрежимо мало.
Корабль начинает движение из состояния покоя. Поэтому скорость будет равна:
V = a∆t
Выразим ускорение из второго закона Ньютона для ракеты:
Изменение импульса определяется произведением суммарной массы выброшенного горючего на скорость его выброса. Так как мы знаем, сколько выбрасывалось горючего каждую секунду, формула примет вид:
Отсюда ускорение равно:
Выразим формулу для скорости и сделаем вычисления:
Суммарный импульс системы тел
Определение
Суммарный импульс системы тел называется полным импульсом системы. Он равен векторной сумме импульсов всех тел, которые входят в эту систему:
Пример №6. Найти импульс системы, состоящей из двух тел. Векторы импульсов этих тел указаны на рисунке.
Между векторами прямой угол (его косинус равен нулю). Модуль первого вектора равен 4 кг∙м/с (т.к. занимает 2 клетки), а второго — 6 кг∙м/с (т.к. занимает 3 клетки). Отсюда:
Закон сохранения импульса
Закон сохранения импульсаПолный импульс замкнутой системы сохраняется:
Левая часть выражения показывает векторную сумму импульсов системы, состоящей из двух тел, до их взаимодействия. Правая часть выражения показывает векторную сумму этой системы после взаимодействия тел, которые в нее входят.
Закон сохранения импульса в проекции на горизонтальную ось
Если до и после столкновения скорости тел направлены вдоль горизонтальной оси, то закон сохранения импульса следует записывать в проекциях на ось ОХ. Нельзя забывать, что знак проекции вектора:
- положителен, если его направление совпадает с направлением оси ОХ;
- отрицателен, если он направлен противоположно направлению оси ОХ.
Важно!
При неупругом столкновении двух тел, движущихся навстречу друг другу, скорость совместного движения будет направлена в ту сторону, куда до столкновения двигалось тело с большим импульсом.
Частные случаи закона сохранения импульса (в проекциях на горизонтальную ось)
| Неупругое столкновение с неподвижным телом | m1v1 = (m1 + m2)v |
| Неупругое столкновение движущихся тел | ± m1v1 ± m2v2 = ±(m1 + m2)v |
| В начальный момент система тел неподвижна | 0 = m1v’1 – m2v’2 |
| До взаимодействия тела двигались с одинаковой скоростью | (m1 + m2)v = ± m1v’1 ± m2v’2 |
Сохранение проекции импульса
В незамкнутых системах закон сохранения импульса выполняется частично. Например, если из пушки под некоторым углом α к горизонту вылетает снаряд, то влияние силы реакции опоры не позволит орудию «уйти под землю». В момент отдачи оно будет откатываться от поверхности земли.
Пример №7. На полу лежит шар массой 2 кг. С ним сталкивается шарик массой 1 кг со скоростью 2 м/с. Определить скорость первого шара при условии, что столкновение было неупругим.
Если столкновение было неупругим, скорости первого и второго тел после столкновения будут одинаковыми, так как они продолжат двигаться совместно. Используем для вычислений следующую формулу:
m2v2 = (m1 + m2)v
Отсюда скорость равна:
Задание EF17556
Импульс частицы до столкновения равен −p1, а после столкновения равен −p2, причём p1 = p, p2 = 2p, −p1⊥−p2. Изменение импульса частицы при столкновении Δ−p равняется по модулю:
а) p
б) p√3
в) 3p
г) p√5
Алгоритм решения
1.Записать исходные данные.
2.Построить чертеж, обозначить векторы начального и конечного импульсов, а также вектор изменения импульса. Для отображения вектора изменения импульса использовать правило сложения векторов методом параллелограмма.
3.Записать геометрическую формулу для вычисления длины вектора изменения импульса.
4.Подставить известные значения и вычислить.
Решение
Запишем исходные данные:
• Модуль импульса частицы до столкновения равен: p1 = p.
• Модуль импульса частицы после столкновения равен: p2 = 2p.
• Угол между вектором начального и вектором конечного импульса: α = 90о.
Построим чертеж:
Так как угол α = 90о, вектор изменения импульса представляет собой гипотенузу треугольника, катами которого являются вектора начального и конечного импульсов. Поэтому изменение импульса можно вычислить по теореме Пифагора:
Δp=√p21+p22
Подставим известные данные:
Δp=√p2+(2p)2=√5p2=p√5
Ответ: г
pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор
Задание EF17695
На рисунке приведён график зависимости проекции импульса на ось Ox тела, движущегося по прямой, от времени. Как двигалось тело в интервалах времени 0–1 и 1–2?
а) в интервале 0–1 не двигалось, а в интервале 1–2 двигалось равномерно
б) в интервале 0–1 двигалось равномерно, а в интервале 1–2 двигалось равноускорено
в) в интервалах 0–1 и 1–2 двигалось равномерно
г) в интервалах 0–1 и 1–2 двигалось равноускорено
Алгоритм решения
1.Записать формулу, связывающую импульс тема с его кинематическими характеристиками движения.
2.Сделать вывод о том, как зависит характер движения от импульса.
3.На основании вывода и анализа графика установить характер движения тела на интервалах.
Решение
Импульс тела есть произведение массы тела на его скорость:
p = mv
Следовательно, импульс и скорость тела — прямо пропорциональные величины. Если импульс с течением времени не меняется, то скорость тоже. Значит, движение равномерное. Если импульс растет линейно, то и скорость увеличивается линейно. В таком случае движение будет равноускоренным.
На участке 0–1 импульс тела не менялся. Следовательно, на этом участке тело двигалось равномерно. На участке 1–2 импульс тела увеличивался по линейной функции, следовательно, на этом участке тело двигалось равноускорено.
Верный ответ: б.
Ответ: б
pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор
Задание EF22730
Камень массой 3 кг падает под углом α = 60° к горизонту в тележку с песком общей массой 15 кг, покоящуюся на горизонтальных рельсах, и застревает в песке (см. рисунок). После падения кинетическая энергия тележки с камнем равна 2,25 Дж. Определите скорость камня перед падением в тележку.
Алгоритм решения
1.Записать исходные данные.
2.Записать закон сохранения импульса применительно к задаче.
3.Записать формулу кинетической энергии тела.
4.Выполнить общее решение.
5.Подставить известные данные и вычислить искомую величину.
Решение
Запишем исходные данные:
• Масса камня: m1 = 3 кг.
• Масса тележки с песком: m2 = 15 кг.
• Кинетическая энергия тележки с камнем: Ek = 2,25 Дж.
Так как это абсолютно неупругий удар, закон сохранения импульса принимает вид:
m1v1+m2v2=(m1+m2)v
Учтем, что скорость тележки изначально была равна нулю, а к ее движению после столкновения привела только горизонтальная составляющая начальной скорости камня:
m1v1cosα=(m1+m2)v
Выразить конечную скорость системы тел после столкновения мы можем через ее кинетическую энергию:
Ek=(m1+m2)v22
Отсюда скорость равна:
v=√2Ekm1+m2
Выразим скорость камня до столкновения через закон сохранения импульса и подставим в формулу найденную скорость:
v1=(m1+m2)vm1cosα=(m1+m2)m1cosα·√2Ekm1+m2
Подставим известные данные и произведем вычисления:
v1=(3+15)3cos60o·√2·2,253+15=12·√0,25=12·0,5=6 (мс)
Ответ: 6
pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор
Задание EF22520
Снаряд, имеющий в точке О траектории импульсp0, разорвался на два осколка. Один из осколков имеет импульс −p1
. Импульс второго осколка изображается вектором:
а) −−→AB
б) −−→BC
в) −−→CO
г) −−→OD
Алгоритм решения
1.Сформулировать закон сохранения импульса и записать его в векторной форме.
2.Применить закон сохранения импульса к задаче.
3.Выразить из закона импульс второго осколка и найти на рисунке соответствующий ему вектор.
Решение
Согласно закону сохранения импульса, импульс замкнутой системы тел сохраняется. Записать его можно так:
−p1+−p2=−p′
1+−p′2
Можем условно считать осколки замкнутой системой, так как они не взаимодействуют с другими телами. Применяя к ним закон сохранения импульса, получим:
−p0=−p1+−p2
Отсюда импульс второго осколка равен векторной разности импульса снаряда и импульса первого осколка:
−p2=−p0−−p1
Известно, что разностью двух векторов является вектор, начало которого соответствует вычитаемому вектору, а конец — вектору уменьшаемому. В нашем случае вычитаемый вектор — вектор импульса первого осколка. Следовательно, начало вектора импульса второго осколка лежит в точке А. Уменьшаемый вектор — вектор импульса снаряда. Следовательно, конец вектора лежит в точке В. Следовательно, искомый вектор — −−→AB.
Ответ: а
pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор
Задание EF18122
Летящая горизонтально со скоростью 20 м/с пластилиновая пуля массой 9 г попадает в груз неподвижно висящий на нити длиной 40 см, в результате чего груз с прилипшей к нему пулей начинает совершать колебания. Максимальный угол отклонения нити от вертикали при этом равен α = 60°. Какова масса груза?
Ответ:
а) 27 г
б) 64 г
в) 81 г
г) 100 г
Алгоритм решения
1.Записать исходные данные и перевести единицы измерения величин в СИ.
2.Сделать чертеж, отобразив начальное, промежуточное и конечное положение тел.
3.Записать закон сохранения импульса для момента столкновения и закон сохранения механической энергии для момента максимального отклонения нити от положения равновесия.
4.Выполнить решение задачи в общем виде.
5.Подставить известные данные и вычислить искомую величину.
Решение
Запишем исходные данные:
• Масса пластилиновой пули: m = 9 г.
• Скорость пластилиновой пули: v = 20 м/с.
• Максимальный угол отклонения нити: α = 60°.
Переведем единицы измерения величин в СИ:
Сделаем чертеж:
Нулевой уровень — точка А.
После неупругого столкновения пули с грузом они начинают двигаться вместе. Поэтому закон сохранения импульса для точки А выглядит так:
mv=(m+M)V
После столкновения система тел начинается двигаться по окружности. Точка В соответствует верхней точке траектории. В этот момент скорость системы на мгновение принимает нулевое значение, а потенциальная энергия — максимальное.
Закон сохранения энергии для точки В:
(m+M)V22=(m+M)gh
V22=gh
Высоту h можно определить как произведение длины нити на косинус угла максимального отклонения. Поэтому:
V=√2glcosα
Подставим это выражение в закон сохранения импульса для точки А и получим:
Выразим массу груза:
Ответ: в
pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор
Алиса Никитина | Просмотров: 20.2k
Механическое взаимодействие в природе можно условно разделить на ударное и безударное.
Безударное взаимодействие – это притяжение и отталкивание.
Для ударного взаимодействия в задачах механики применяют закон сохранения импульса.
Виды ударов
В школьном курсе физики рассматривают два вида ударного взаимодействия: абсолютно упругий удар или абсолютно неупругий удар.
Если деформации тел при ударе нет, считают, что удар абсолютно упругий.
Если же деформация присутствует и после удара образуется новое тело – удар абсолютно неупругий.
Абсолютно упругий и абсолютно неупругий удары – это два крайних случая на шкале ударного взаимодействия
Рис. 1. Абсолютно упругий и абсолютно неупругий удары – крайние случаи взаимного действия тел
При ударах большинства реальных тел часть энергии всегда тратится на деформацию этих тел. Поэтому, удары большинства реальных тел лежат на шкале между двумя крайними видами ударов.
Рассмотрим движение тел вдоль одной прямой. Тела либо двигаются навстречу, либо одно тело догоняет другое.
Абсолютно неупругий удар
Суть абсолютно неупругого удара кратко можно описать так: Две капли ртути катились, ударились, слились в общую каплю ртути.
Нарисуем капли ртути до удара. Отметим на рисунке массу каждой капли. Скорости капель укажем с помощью векторов, направленных по движению каждой капли.
Вычислим импульсы тел
( m_{1} cdot vec{v_{1text{до}}} = vec{p_{1text{до}}} )
( m_{2} cdot vec{v_{2text{до}}} = vec{p_{2text{до}}} )
Рис. 2. Одно тело двигается навстречу другому вдоль одной прямой
Нарисуем ось, для того, чтобы определить знак для импульса каждой капли.
Импульс, сонаправленный с осью, будет иметь положительный знак, направленный против оси – отрицательный.
Сложим векторы импульсов, чтобы найти общий импульс системы – вектор (vec{p_{text{общ.до}}} ).
Каждый импульс запишем со своим знаком
( m_{1} cdot vec{v_{1text{до}}} — m_{2} cdot vec{v_{2text{до}}} = vec{p_{text{общ.до}}})
Сделаем второй рисунок, описывающий ситуацию после абсолютно неупругого удара.
На этом рисунке укажем массу образовавшейся капли и ее скорость. Укажем стрелкой и символом (vec{v_{text{общ.после}}} ), куда движется капля после удара .
Ось поможет выбрать знак для импульса капли.
Рис. 3. После абсолютно неупругого удара образовалось новое тело, оно движется сонаправленно с телом, имевшим наибольший до удара импульс
На рисунке скорость сонаправлена с осью, поэтому, импульс капли после удара имеет положительный знак.
( left( m_{1} + m_{2} right) cdot vec{v_{text{общ.после}}} = vec{p_{text{общ.после}}})
Примечание: Иногда в условии задачи не уточняется, в какую сторону будет двигаться тело после удара. В таком случае, направление движения выбираем сами (влево или вправо на рисунке). Если в ходе решения получим импульс тела, или его скорость со знаком минус, значит, тело движется в противоположную сторону от указанного нами направления. Такой выбор направления ошибкой считаться не будет. А знак минус подскажет, что импульс (и скорость) нужно развернуть в противоположную сторону.
По закону сохранения импульса, векторы (vec{p_{text{общ.до}}}) и (vec{p_{text{общ.после}}}) равны.
( m_{1} cdot vec{v_{1text{до}}} — m_{2} cdot vec{v_{2text{до}}} = vec{p_{text{общ.до}}})
( left( m_{1} + m_{2} right) cdot vec{v_{text{общ.после}}} = vec{p_{text{общ.после}}})
(vec{p_{text{общ.до}}} = vec{p_{text{общ.после}}})
Значит, закон сохранения импульса для абсолютно неупругого удара запишем в таком виде:
( m_{1} cdot vec{v_{1text{до}}} — m_{2} cdot vec{v_{2text{до}}} = left( m_{1} + m_{2} right) cdot vec{v_{text{общ.после}}} )
При абсолютно неупругом ударе:
— Выполняется закон сохранения импульса,
— Не выполняется закон сохранения энергии, так как часть энергии тратится на деформацию тел.
Примечание: Встречаются задачи вида: человек на льду бросил гирю в горизонтальном направлении, гиря полетела в одну сторону, а человек – в противоположную. Такие задачи решаем, применяя принципы для абсолютно неупругого удара. С той лишь разницей, что меняем местами рисунки до и после удара. Вначале тела находились вместе, после броска – разлетелись в противоположные стороны.
Абсолютно упругий удар
Кратко суть абсолютно упругого удара опишем так: Два бильярдных шара катились, без деформации ударились, и разбежались в разные стороны.
Составим рисунок для ситуации до удара. Отметим на рисунке массу каждого шара. Скорости шаров укажем с помощью векторов, направленных по движению каждого шара.
Запишем импульсы шаров до удара
( m_{1} cdot vec{v_{1text{до}}} = vec{p_{1text{до}}} )
( m_{2} cdot vec{v_{2text{до}}} = vec{p_{2text{до}}} )
Рис. 4. До удара два тела двигаются навстречу вдоль одной прямой
Нарисуем ось, чтобы определить знаки импульсов каждого шара. Сонаправленный с осью импульс имеет знак «+», направленный против оси – знак «-».
Сложим импульсы и найдем общий импульс системы – вектор (vec{p_{text{общ.до}}} ).
Каждый импульс записываем со своим знаком
( m_{1} cdot vec{v_{text{1до}}} — m_{2} cdot vec{v_{text{2до}}} = vec{p_{text{общ.до}}})
На втором рисунке опишем задачу после абсолютно упругого удара.
Укажем массы шаров, их скорости нарисуем стрелками в направлении движения каждого шара. Обозначим скорости символами (vec{v_{text{1после}}} ) и (vec{v_{text{2после}}} ).
С помощью проведенной оси выбираем знаки импульсов шаров.
Составим выражение для общего импульса после удара.
( — m_{1} cdot vec{v_{text{1после}}} + m_{2} cdot vec{v_{text{2после}}} = vec{p_{text{общ.после}}})
Рис. 5. После удара тела двигаются в противоположных направлениях
Для замкнутой системы выполняется закон сохранения импульса
(vec{p_{text{общ.до}}} = vec{p_{text{общ.после}}})
Запишем его в развернутом виде для абсолютно упругого удара:
( m_{1} cdot vec{v_{text{1до}}} — m_{2} cdot vec{v_{text{2до}}} = — m_{1} cdot vec{v_{text{1после}}} + m_{2} cdot vec{v_{text{2после}}} )
При абсолютно упругом ударе:
— Выполняется закон сохранения импульса,
— Выполняется закон сохранения энергии.
Алгоритм решения задач на тему закон сохранения импульса
Решение большинства задач на закон сохранения импульса можно проводить по такому алгоритму:
- Убеждаемся, что систем замкнутая. О видах систем написано тут.
- На рисунке описываем ситуацию до удара.
- Складываем импульсы всех тел системы до удара. Полученный вектор – это ( vec{p_{text{общ.до}}})
- Составляем второй рисунок, на котором представляем ситуацию после удара.
- Складываем импульсы всех тел системы после удара. Полученный вектор – это ( vec{p_{text{общ.после}}})
- Приравниваем импульсы ( vec{p_{text{общ.до}}}) до удара и ( vec{p_{text{общ.после}}}) после удара
Если тела двигаются под углом друг к другу (вдоль непараллельных прямых)
При решении таких задач, нужно помнить, что, векторы ( vec{p_{text{общ}}}) равны. Значит, когда нам известен один из векторов, автоматически становится известен и второй вектор.
Поэтому, когда нужно определить импульс тела в задачах, в которых тела не двигаются вдоль одной прямой, мы ищем тот импульс ( vec{p_{text{общ}}}) , который нам удобнее найти. А после этого применяем тот факт, что векторы равны ( vec{p_{text{общ.до}}} = vec{p_{text{общ.после}}}).
Оглавление:
- Основные теоретические сведения
- Импульс тела
- Закон сохранения импульса
- Сохранение проекции импульса
- Многомерный случай ЗСИ. Векторный метод
Основные теоретические сведения
Импульс тела
К оглавлению…
Импульсом (количеством движения) тела называют физическую векторную величину, являющуюся количественной характеристикой поступательного движения тел. Импульс обозначается р. Импульс тела равен произведению массы тела на его скорость, т.е. он рассчитывается по формуле:
Направление вектора импульса совпадает с направлением вектора скорости тела (направлен по касательной к траектории). Единица измерения импульса – кг∙м/с.
Общий импульс системы тел равен векторной сумме импульсов всех тел системы:
Изменение импульса одного тела находится по формуле (обратите внимание, что разность конечного и начального импульсов векторная):
где: pн – импульс тела в начальный момент времени, pк – в конечный. Главное не путать два последних понятия.
Абсолютно упругий удар – абстрактная модель соударения, при которой не учитываются потери энергии на трение, деформацию, и т.п. Никакие другие взаимодействия, кроме непосредственного контакта, не учитываются. При абсолютно упругом ударе о закрепленную поверхность скорость объекта после удара по модулю равна скорости объекта до удара, то есть величина импульса не меняется. Может поменяться только его направление. При этом угол падения равен углу отражения.
Абсолютно неупругий удар – удар, в результате которого тела соединяются и продолжают дальнейшее своё движение как единое тело. Например, пластилиновый шарик при падении на любую поверхность полностью прекращает свое движение, при столкновении двух вагонов срабатывает автосцепка и они так же продолжают двигаться дальше вместе.
Закон сохранения импульса
К оглавлению…
При взаимодействии тел импульс одного тела может частично или полностью передаваться другому телу. Если на систему тел не действуют внешние силы со стороны других тел, такая система называется замкнутой.
В замкнутой системе векторная сумма импульсов всех тел, входящих в систему, остается постоянной при любых взаимодействиях тел этой системы между собой. Этот фундаментальный закон природы называется законом сохранения импульса (ЗСИ). Следствием его являются законы Ньютона. Второй закон Ньютона в импульсной форме может быть записан следующим образом:
Как следует из данной формулы, в случае если на систему тел не действует внешних сил, либо действие внешних сил скомпенсировано (равнодействующая сила равна нолю), то изменение импульса равно нолю, что означает, что общий импульс системы сохраняется:
Аналогично можно рассуждать для равенства нулю проекции силы на выбранную ось. Если внешние силы не действуют только вдоль одной из осей, то сохраняется проекция импульса на данную ось, например:
Аналогичные записи можно составить и для остальных координатных осей. Так или иначе, нужно понимать, что при этом сами импульсы могут меняться, но именно их сумма остается постоянной. Закон сохранения импульса во многих случаях позволяет находить скорости взаимодействующих тел даже тогда, когда значения действующих сил неизвестны.
Сохранение проекции импульса
К оглавлению…
Возможны ситуации, когда закон сохранения импульса выполняется только частично, то есть только при проектировании на одну ось. Если на тело действует сила, то его импульс не сохраняется. Но всегда можно выбрать ось так, чтобы проекция силы на эту ось равнялась нулю. Тогда проекция импульса на эту ось будет сохраняться. Как правило, эта ось выбирается вдоль поверхности по которой движется тело.
Многомерный случай ЗСИ. Векторный метод
К оглавлению…
В случаях если тела движутся не вдоль одной прямой, то в общем случае, для того чтобы применить закон сохранения импульса, нужно расписать его по всем координатным осям, участвующим в задаче. Но решение подобной задачи можно сильно упростить, если использовать векторный метод. Он применяется если одно из тел покоится до или после удара. Тогда закон сохранения импульса записывается одним из следующих способов:
В этих формулах буквой υ обозначены скорости тел до соударения, а буквой u обозначены скорости тел после соударения. Из правил сложения векторов следует, что три вектора в этих формулах должны образовывать треугольник. Для треугольников применяется теорема косинусов. Если правильно записать соответствующую теорему косинусов, то зачастую получается уравнение из которого можно найти нужную величину. Однако, иногда к правильно записанной теореме косинусов еще нужно будет добавить правильно записанный закон сохранения энергии (смотрите следующий раздел). В этом случае получится система уравнений из которых наверняка можно будет найти нужную величину.